Mavzu: L2 fazo ta’rifi va asosiy xossalari fazoda yaqinlashish turlari. Reja

4.43.1- teorema. O’rta ma’noda yaqinlashuvchi ketma-ketlik birgina limitga ega.

Isbot. ketma-ketlik ikki turli f va g~/~f limitlarga ega deb fara qilaylik, ya’ni va bo’lsin. Normaning 3-xossasidan, ya’ni uchburchak tengsiligidan foydalanib, ushbu

tengsizlikni yozishimiz mumkin. Bu tengsizlikning o’ng tomoni da nolga intiladi; demak, birinchi aksiomaga muvofiq f~g yoki f va g funksiyalar L₂ fazoda ilgari aytganimizdek, bir nuqtanigina tasvirlaydi; bu esa farazimizga zid._*

5.43.2-teorema. Agar bo’lsa, u holda .

Isbot. Normaning 3-xossasiga asosan va tengsizliklar o’rinli. Bulardan

tengsizlik kelib chiqadi. Bu esa teoremani isbotlaydi._*

Normaning bu xossasi uning uzluksizligi deyiladi.

Endi o’rta ma’noda yaqinlashish tushunchasi deyarli va o’lchov bo’yicha yaqinlashish tushunchalariga nisbatan qanday munosabatda ekanligini aniqlaymiz.

6.43.3- teorema. Agar funksiyalar ketma-ketligi o’rta ma’noda f(x) ga yaqinlashsa, u holda bu ketma-ketlik f(x) ga o’lchov bo’yicha ham yaqinlashadi.

Isbot. Har qanday musbat σ son uchun quyidagi munosabatlar o’rinli bo’ladi:

(2)

bu yerda =E( Teoremaning shartiga muvofiq n da

,

demak, (2) tengsizlikdan tayin musbat son bo’lgani uchun

ya’ni, da

f_n

Isbot etilgan teoremadan va 33.5- Riss teoremasidan quyidagi natija kelib chiqadi.

1.43.4- natija. Agar funksiyalar ketma-ketligi o’rta ma’noda f(x) ga yaqinlashsa, u holda bu ketma-ketlikdan deyarli yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish mumkin.

3- ta’rif. Agar funksiyalar ketma-ketligi uchun ushbu

(3)

munosabat bajarilsa (m bilan n bir-biriga bog’liq bo’lmagan ravishda cheksizga intilganda), bu ketma-ketlik L₂ fazodagi fundamental ketma-ketlik, ba’zan esa Koshi ketma-ketligi deyiladi.

Ravshanki, (1) munosabatdan (3) munosabat kelib chiqadi.

Bu ta’rifning birinchi ta’rifdan farqi shundaki, bu yerda ketma-ketlik limitining mavjudligi haqida biror narsa deyilmaydi, ya’ni bu ta’rifda ketma-ketlik limitining mavjud bo’lishi shart emas.

Bu yerdagi (3) shart haqiqiy sonlarning yaqinlashishi haqidagi Koshi shartiga o’xshashdir.

Matematik analizdan ma’lumki, sonlar ketma-ketligi uchun yaqinlashishning Koshi sharti bajarilsa, u ketma-ketlik limitga ega bo’ladi.

Mana shunga o’xshash jumla L₂ fazodan olingan ketma-ketliklar uchun ham o’rinlimi yoki yo’qmi, ya’ni agar birorta funksiyalar ketma-ketligi uchun (3) munosabat bajarilsa, (1) munosabat ham bajariladimi, degan savol tug’iladi. Bu savolga quyidagi teorema javob beradi.