Mavzu: laplas tеоrеmasi. Dеterminantlarni hisоblash usullari

2-Teorema. Ditermenant nilga teng bo’lishi uchun uning satrlari (ustunlari)chiziqli bog’langan bo’lishi zarur va etarli.
Isboti.
1. D=
ditermenant nolga teng bo’lsin .U holda n –tartibli kvadrat

matrissaning rangi n dan kichik bo’ladim, chunki uning eng yuqori tartibli D minori nolga teng.Shu sababli ,1-teoremaga bnoan, Aning va demak, D ning ham gorizantal vektorlari yoki satrlari chiziqli bog’langandir.
2. D ning satirlari chiziqli bog’langan bo’lasa, bu sarirlardan birinni qolganlari orqali nol satrga aylantirish mumkun.
Demak, bu almashtirishlar vositasida hosil qilingan determinotninmg satrlaridan biri nol satrni ifodalagani uchin D’=0 bo’lib, determinontlarning 4-hassasidan kelib chiqadigan natija boýicha D’=D tenglik o’rinli va shu sababli , D=0 bo’ladi.
n-tartibli determinontlar n-tartibli kvadrat matrissalarni qandaydir sonlar to’plamiga bir qiymatli akslanishidan iborat bo’lganligi uchun ditermenantlar ham matrissalar kabi ko’paytirilashini eslatib o’tamiz. A matr4issaning ditermenanti /A/ orqali belgilanadi.
3-Teorema. Agar a va b matrissalar n –tartibli kvadrat matrissalar bo’lsa, uholda bu matrissalar ko’paytmasinign diotermenantni ko’paytuvchilar ditermenantlarining ko’paytmasiga teng, yani
/A*B/=/A/*/B/ (5)
tenglik o’rinli.
Isboti. Agar A matrissa birlik matrissa bo’lsa , (5) tenglik o’rinli. Haqiqatdan , EB=B. Shuning uchun
/E*B/=/B/=1*/B/=/E/*/B/ bo’ladi.
Lemma. Agar A” matrissa A’matrissadan bitta elementar satr almashtirish yordamida hosil qilingan bo’lsa,
/A’*B/=/A’/ */B/ (6)
tenglikdan
/A”*B/=/A”/*/B/ (7)
tenglik kelib chiqadi.
Isboti. A” matrissa A’matrissadan quyidagi elementar almashtirishlardan bittasi orqali hosil bo’lsin.

1. 
   satrlarning o’rnini almashtirish;
   
2. 
   ihtiyoriy satrni noldan farqli k soniga ko’paytirish;
   

v) bitta satrga boshqa satrni ihtiyoriy songa ko’paytirib qo’shish.
Matrissalarni ko’paytirish qoidasiga asosan A”B matrysa A’B matrisadan mos elementar almashtirish natijasida hosil bo’ladi.

1. 
   Elementar almashtirish bajarilsin u holda
   

/A”/=-/A’/,’ /A”B/=-/A’B/ (8)
tenglik o’rinli (ikkita satrni almashtirganda determinant) –1ga ko’payadi);
b) elementar almashtirish bajarilsa,
/A”/=/A’/, /A”B/=/A’B/ (10)
tenglik bajariladi.
(8), (9) yoki (10) tengliklarning xar birini (6) bilan birlashtirsak, (7) tenglikka ega bo’lamiz.
Agar A matrissa a),b),c) elementar almashtirishlar yordamida birlik matrissadan xosil qilingan bo’lsa ,lemmadan va tenglikdan (5 ) tenglik kelib chiqadi.
Birlik matrissadan elementar almashtirishlar yordamida A matrissa xosmas matrissa bo’ladi.
A matrissa xos matrissa bo’lsin,yani uning satrlari chiziqli bog’langan .Xos matrissaga teskari matrissa mavjud emasligidan , A matrissa satrlari orasida qamday chiziqli bog’lanish bo’lsa , u xolda AB matrissa satrlari orasida ham shunday chiziqli bog’lanish mavjud bo’ladi.
AB matrissa ham xos matrissa bo’ladi.
De’mak va tengliklardan tenglik o’rinli bo’ladi .
To’la matematik induqsiya prinsipi asosida (5) tenglik umulashtiriladi, ya’ni. Agar bo’lsa boeladi
Ma’lumki, faqat xosmas kvadrat matrissaga teskari matrissa mavjud va yagona .Biz 61 da bunday matrissa ga teskari matrissani topishning bitta usuli bilan tanishgan edik .Xozir biz ikkinchi usulni ko’rib o’tamiz.
Quyidagi n-tartibli xosmas kvadrat matrissa berilgan bo’lsin:

A ning satrlari chiziqli erkli. Shu sababli bu matrissa determinanti no’ldan farqli,

Ya’ni



Ushbu,
=

matrissani tuzamiz .Bunda A_ij lar a_ij elementlarning algebraik to’ldiruvchilarini ifodalaydi . matrissa odatda A ga tirkalgan (qovushgan) matrissa deb ataladi.

B matrissa A ga teskaridir.Xaqiqatan, AB=C bo’lsa, C ning bosh diagonalidagi xar bir c_ij elementi quyidagiga teng bo’ladi:

Qolgan hamma c_ij elementlar uchun esa 68-paragrafdagi (1)tenglikka asosan

kelib chiqadi. Demak, Xuddi shu usulda BA=E ekanligini tekshirish mumkin .SHunday qilib, B=A^-1 va A= B^-1 .
Misol. Ushbu
Matrissaga teskari matrissani topaylik. Bu erda

Elementlarning algebraik to’ldiruvchilari quyidagilar:

A₁₁=7, A₂₁=20, A₃₁=19, A₁₂=1, A₂₂=-2, A₃₂=-2, A₁₃=6, A₂₃=-17, A₃₃=-16.

Demak

va tengliklar bajariladi.
Determinantlarni hisoblashning turli usullari bor.Bu usullarda determinantlar-ning asosiy hossalaridan foydalanish ,determinantni minorlar bo’yicha,husiy holda satr yoki ustun elementlari bo’yicha yoyish qoidalarini qo’llash alohida ro’l o’ynaydi. Umuman, determinantlar hilma –hil bo’lgani uchun ,ularni hisoblash usullari ham juda ko’p hildir .Faqat ayrim mahsus determinantlarnigina hisoblash usullari oldindan berilishi mumkin .Quyia ba’zi determinantlarni hisoblash usullari bilan tanishib o’tamiz :
1.a₁ , a₂ ,…, a_n sonlarga nisbatan quyidagi n-darajali determinantni (Vindermond determinantini) hisoblaymiz:
V
Birinchi ustundan boshlab har bir ustunni - ga ko’paytirib o’zidan keyingisiga qo’shamiz .U vaqtda

=

hosil bo’ladi.O’ng tomonda tartibi (n-1) ga teng va a₂, a₃,….,, a_n larga nisbatan V_n-1 determinant turganini ko’ramiz .Yuqorida V_n ga nisbatan qilingan ishni V_n-1 ga nisbatan takrorlasak, takrоrlasak,

kеlib chiqadi. O`ng tоmоnda YAna - tartibli va Larga nisbatan dеtirminant vujudga kеlganini ko`ramiz va х.k. bu jarayonni davоm ettirib, eng охirida

ni хоsil qilamiz.
2. Ushbu


dеtirminantni хisоblang. Bеshinchi ustunni ayiramiz (ya’ni -1 ga ko`paytirib qo`shamiz).

dеtirminantga ega bo`lamiz.

1,2,3,4 catrlarni 5 – satrga qo`shib, quyidagi dеtirminantni хоsil qilamiz.

bu dеtirminantda bоsh diagnalning pastiga хama elеmеntlari 0 lardan ibоrat bo`lgani uchun bu dеtirminant bоsh diagnali elеmеntlarining ko`paytmasiga tеng, ya’ni
shu ko’rinishdagi - tartibli dеtirminant bеrilgan bo`lsa, u хоlda bo`ladi.