Mavzu: Matematik fizikaning asosiy tenglamalariga keladigan fizika va mexanikaning ayrim masalalari. Issiqlik tarqallish tenglamasi. Moddiy nuqtaning og’irlik kuchi ta`siridagi harakati. Topshirdi

Issiqlik tarqalish tenglamasini hosil qilamiz.
Agar muhit birr jinsli bo’lsa, ya’ni funksiyalar o’zgarmas bo’lsa, (7) tenglama

ko’rinishga keladi, bunda
.
(8) tenglama Issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi ham deyiladi. (8) tenglamani keltirib chiqarishda fazoviy koordinatlar soni n ni 3 ga teng deb hisoblagan edik. Bu tenglamada n son ixtiyoriy bo’lishi mumkin. Agar tekshirilayotgan muhitda issiqlik manbalari bo’lmasa, ya’ni F=0 bo’lsa, bir jinsli issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi hosil bo’ladi:
.
Tebranish tenglamalaridek, issiqlik tarqalish jarayonini to’la ifodalash uchun muhitda haroratning boshlang’ich tarqalishi (boshlang’ich shart) hamda muhitning chegarasidagi holati berilishi shart. Boshlang’ich shart, to’lqin tenglamalaridan farqli, u(x,t) funksiyaning boshlang’ich t₀ vaqtdagi qiymatini berishdan iboratdir, ya’ni

Chegaraviy shartlar haroratning chegaradagi rejimiga qarab turlicha bo’lishi mumkin.

1. 
   Agar S chegarada berilgan bir xil u₀ harorat saqlanayotgan bo’lsa, u holda
   

2. 
   Agar S chegarada berilgan issiqlik oqimi bir xil bo’lsa, u holda
   

3. 
   Agar S da issiqlik almashinishi sodir bo’layotgan bo’lsa, Nyuton qonuniga asosan
   

bo’ladi, bunda h – issiqlik almashinish koeffitsiyenti, u₀ – atrof-muhitning harorati. Xuddi issiqlik tarqalish tenglamasiga o’xshash zarrachalar diffuziyasi tenglamasi keltirib chiqariladi. Faqat bunda Furye qonuni o’rniga birlik vaqtda sirtning ds qismidan o’tuvchi zarrachalar oqimi uchun Nernst qonunidan foydalanish kerak.
Bunga asosan

bu yerda D (x) – diffuziya koeffitsiyenti, u(x,t) – t vaqtda x nuqtadagi zarrachalar zichligi. u(x,t) zichlik uchun (1) ko’rinishdagi tenglamaga ega bo’lamiz, unda g’ovaklik koeffitsiyentini belgilaydi, esa muhitning singdirishini ifodalaydi. (8) issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi parabolik tipdagi tenglamalarning yaqqol vakilidir.