Бу аксиомадан кўринадики, натурал сонлар тўпламида биринчи элемент аниқланган бўлиб, у 1 сонидан иборатдир. 2o. Ҳар қандай а натурал сон учун ундан бевосита кейин келадиган биргина а1 натурал сони мавжуд бўлиб, унда а =b бўлса, а1 = b1 бўлади. Бу аксиома натурал сонлар тўпламининг чексиз эканлигини ифодалайди, чунки исталган натурал сондан бевосита кейин келадиган натурал сон мавжуд. 3o. Исталган натурал сон бевосита биттадан ортиқ бўлмага натурал сондан кейин келади, яъни а1 = b1 бўлса, у ҳолда а=b бўлади. Бу аксиомадан кўринадики, берилган натурал сондан навбатдаги сонга бир неча марта ўтилганда ҳам бари бир фақат ва фақат битта соннинг ўзи келади, чунки акс ҳолда навбатдаги сон ҳеч бўлмаганда иккита сондан кейин келган бўлар эди. Демак, натурал сонлар тўплами қатъий тартибланган тўпламдир. 4o. Агар бирор S қоида 1 сони учун ўринли эканлиги исботланган бўлса ва унинг n натурал сони учун ўринли эканлигидан навбатдаги n+1 натурал сон учун тўғрилиги келиб чиқса, бу S қоида барча натурал сонлар учун ўринли бўлади. Қўшиш амалининг таърифи Герман Гроссман (1809-1877) томонидан берилган қўшиш амалининг индуктивлик таърифига асосланади. Бу таъриф икки қисмдан иборат бўлиб, у қуйидагича: 1. Ихтиёрий а натурал сонга 1 ни қўшишса, бевосита а дан кейин келадиган сон ҳосил блади, яъни (n) (а + 1=a1). 2. a + b1 амали, а сонга бевосита b сондан кейин келадиган b1 сонни қўшиш натижасида а + b сондан бевосита кейин келадиган натурал (а +b)1 сонни беради, яъни () [(а + b)1 = (а + b) + 1]. Пеанонинг иккинчи аксиомасидан маълумки, n - натурал сон бўлса, n+1 ҳам албатта натурал сон бўлади. Бунда а ва а+b лар натурал сон бўлганда а + b1 = (а + b)1 ҳам натурал сон бўлиши келиб чиқади. Шунингдек, а + 1 = а1 дан Пеанонинг биринчи аксиомасига асосан а натурал сон билан b натурал соннинг йиғиндиси тўла аниқланган ва натурал сондан иборат бўлади.
Do'stlaringiz bilan baham: |
