Mavzu: parabolik tenglama uchun integral shartli masala. I bob. Parabolik tipdagi tenglamalar va asosiy chegaraviy masalalarning qо‘yilishi

Misollar. 1) Quyidagi

tenglama 2-turdagi Fredgolm tenglamasidir, chunki yadro va ozod had mos ravishda kvadratda va kesmada uzluksiz funksiyalardir.
2)

tenglama ham Fredgolm tenglamasidir, chunki



3)

tenglama Fredgolm tenglamasi emas.
Chunki,


ohirgi integral esa mavjud emas.
Fredgolm tipidagi tenglamalarni o‘rganish bilan birga Volterra tipidagi tenglamalar haqida ham qisqacha ma’lumotlar keltirib o‘tamiz.
Quyidagi
(1.3.5)
tenglama 2-turdagi chiziqli Volterra integral tenglamasi deb ataladi.
(1.3.5) Volterra integral tenglamasining (1.3.1) Fredgolm tenglamasidan asosiy farqi Shundan iboratki, integral chegarasining biri o‘zgaruvchi ekanligidadir. Umumiy tuShunchalarni (1.3.1) Fredgolm tenglamasiga nisbatan keltiramiz, bu tuShuncha va ta’riflar esa (1.3.5) Volterra tenglamasi uchun ham o‘rinli bo‘ladi.
Volterra tenglamalarini Fredgolm tenglamalarining xususiy holi deb qarash mumkin. Volterra tenglamasining yadrosi kesmada aniqlangan. Agar uni lar uchun
,
deb aniqlasak, hosil bo‘lgan yangi

yadroni Fredgolm yadrosi deb qarash mumkin.
Bu yadro kvadratning (1-chizma) shtrixlangan qismida yadro bilan ustma-ust tushadi, qolgan qismida esa aynan nolga teng. Shunday aniqlangan yadro uchun

tenglama Fredgolm tenglamasi bo‘lib, u Volterra tenglamasining aynan o‘zidir.
Demak, Fredgolm tenglamasi uchun olingan barcha natijalar, uning xususiy holi bo‘lgan Volterra tenglamalari uchun ham o‘rinli bo‘lishi Shubhasiz ekan.
Ammo Volterra tenglamalarining faqat o‘zlarigagina hos xususiyatlari ham borki, ular faqat bu tenglamalarni echishda alohida ahamiyat kasb etadi.
Endi esa integral tenglamalarni echish usullaridan ketma-ket yaqinlashish va rezolventa usullarini keltirib o‘tamiz [ 5,6,9,13,15,18].
Quyidagi Fredgolm tipidagi tenglamani qaraylik,
(1.3.6)
yadro kvadratda, esa da uzluksiz funksiyalar bo‘lsin. Shu shartlar bajarilganda (1.4.6) tenglamani echish uchun kema-ket yaqinlashish usulini qo‘llaymiz. Buning uchun yyechim ni parametr ning butun va musbat darajalari bo‘yicha yoyilgan qator ko‘rinishida qidiramiz, ya’ni
(1.3.7)

Agar (1.3.7) qator bo‘yicha oraliqda tekis yaqinlaShuvchi bo‘lsa, uni (1.4.6) tenglamaga qo‘yib, hadma-had integrallab, so‘ngra ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsientlarni o‘zaro tenglab quyidagiga ega bo‘lamiz:

va umuman
(1.3.8)
Barcha , , funksiyalar uzluksiz funksiyalar bo‘lishi o‘z-o‘zidan ravshan. Agar parametr etarli darajada kichik bo‘lsa, (1.3.8) ketma-ketlikdan tuzilgan qator absolyut va tekis yaqinlashishini ko‘rsatamiz. U holda (1.3.8) qatorning yig‘indisi ham uzluksiz funksiya bo‘ladi va (1.3.6) tenglamani qanoatlantiradi.
va larning yopik sohalarda uzluksiz ekanligidan

deb yoza olamiz, bu yerda , -lar musbat o‘zgarmas sonlar.
Shunga asoslanib, (1.3.8) formulalardan funksiyalar uchun quyidagi baholarni olamiz:



va umuman

Demak (1.3.7) qatorning umumiy hadi uchun

bahoni hosil qilamiz. Bundan ko‘rinadiki, (1.3.7) qator absolyut va tekis yaqinlaShuvchi bo‘ladi, agarda
(1.3.9)
shart bajarilsa. Shunday qilib, (1.3.6) tenglama uchun (1.3.9) shart o‘rinli bo‘lsa, u holda bu tenglama yechimga ega va bu yechim yagonadir. Endi esa yechimning yagonaligini isbotlaymiz.
Faraz qilaylik, (1.3.6) tenglamaning ikkita yechimi va mavjud bo‘lsin. U holda (1.3.6) tenglamaga mos bir jinsli tenglamaning yechimi bo‘ladi, ya’ni

Bundan deb, ekanligini topamiz. Bu tengsizlik esa (1.3.9) ga ziddir. Demak, yoki , ya’ni .
Demak, yagonaligi isbotlandi.
Biz Yuqorida Fredgolm tenglamasini ketma-ket yaqinlashish usuli bilan echishni keltirib o‘tdik. Endi esa Volterra tenglamasini ham ketma-ket yaqinlashish usuli bilan echishni ko‘rib o‘tamiz.
Aytaylik bizga, quyidagi Volterra tenglamasi berilgan bo‘lsin
(1.3.10)
Bu yerda ham va lar uluksiz funksiyalar bo‘lsin. Avvalgidek yechimni (1.3.7) qator ko‘rinishda izlaymiz va funksiyalar uchun ushbu formulalarni hosil qilamiz:

Yuqoridagidek , ekanligidan quyidagi tengsizliklarni hosil qilamiz:


va umuman

Bu tengsizliklardan ko‘rinadiki, qatorning hadlari mos ravishda qatorning hadlaridan katta emas. Keyingi qator esa ning ixtiyoriy chekli qiymatlari uchun tekis yaqinlashadi va

Demak, qator absolyut va tekis yaqinlashadi, uning yig‘indisi (1.2.10) tenglamani qanoatlantiradi. Endi esa topilgan yechimning yagonaligini ko‘rsatamiz. Bu yechim esa ixtiyoriy fiksirlangan uchun yagonadir.
Haqiqatan ham, va (1.3.10) tenglamaning ikkita uzluksiz yechimlari desak, u holda funksiya bir jinsli
(1.3.11)
tenglamaning yechimi bo‘ladi. (1.4.11) dan quyidagi olamiz
(1.3.12)
bunda (1.3.12) bahoni (1.3.11) tenglikning o‘ng tomoniga qo‘yib

ga ega bo‘lamiz va Shu protsessni davom ettirib

tengsizlikni hosil qilamiz. Bu tengsizlik ixtiyoriy uchun o‘rinli bo‘lganligidan, desak bo‘lishini hosil qilamiz yoki .
Shunday qilib, biz xulosa qilamizki, Volterra tipidagi (1.4.10) tenglamada ozod had va yadro uzluksiz bo‘lsa, u holda bu tenglama ning har qanday chekli qiymati uchun birdan bir yechimga ega bo‘lar ekan.
Ikkinchi turdagi Fredgolm tenglamalari uchun esa bunday emas, ya’ni, ular ning har qanday qiymati uchun ham yechimga ega bo‘lavermaydi, ba’zi lar uchun esa bir nechta yechimlarga ega bo‘lishi mumkin.
Endi esa rezolventa tuShunchasini ko‘rib chiqamiz [5,6,9,13,15,18].
Biz Yuqorida (1.4.6) Fredgolm tenglamasi uchun (1.4.9) shart bajarilganda birdan-bir yechimga ega ekanligini ko‘rdik. Endi Shu yechimni boshqacha ko‘rinishda yozamiz. Buning uchun esa takroriy yadrolar tuShunchasini kiritamiz. Takroriy yadrolar berilgan yadro orqali quyidagicha ifodalanadi:
(1.3.13)
yadroning kvadratda uzluksizligidan har bir takroriy yadroning ham da uzluksizligi kelib chiqishi Shubhasizdir.
Takroriy yadrolarni (1.3.13) dagidek birini ikkinchisi orqali emas, hammasini berilgan yadro orqali ifodalash mumkin. Haqiqatan ham




yoki

va umumiy holda

(1.3.14)
Bu formulada integrallash tartibi ixtiyoriy bo‘lishi mumkin. YAdro uchun ekanligini nazarda tutib, (1.4.14) formuladan quyidagi tengsizlikni olamiz:
(1.3.15)
Endi takroriy yadrolardan tuzilgan quyidagi qatorni olaylik
(1.3.16)
Bu qator uchun (1.4.9) shart bajarilganda kvadratda absolyut va tekis yaqinlashadi, chunki (1.4.15) ga asosan (1.4.16) qatorning umumiy hadi uchun

tengsizlikka ega bo‘lamiz. (1.4.16) qatorning yig‘indisini deb belgilaylik, ya’ni
(1.3.17)
Yuqorida biz (1.3.6) Fredgolm tenglamasining yechimini (1.3.9) shart bajarilganda (1.3.7) qator ko‘rinishda topgan edik. Endi Shu qatordagi har bir funksiyani berilgan funksiya orqali ifodalashga urinib ko‘raylik:
(1.3.8) formulalardan quyidagilarni olamiz:



davom etsak,

hosil bo‘ladi.
uchun topilgan formulalarni (1.3.7) qatorga qo‘yib topamiz:

yoki kvadratda (1.3.17) qatorning tekis yaqinlaShuvchi ekanligini nazarda tutib quyidagini yoza olamiz
(1.3.18)
Eslatib o‘tamizki, (1.3.18) formula (1.3.9) shart bajarilgandagina o‘rinli bo‘ladi. Ko‘rinib turibdiki, (1.3.17) formula bilan aniqlangan funksiya ozod had ga bog‘liq emas. Bu funksiya yadroning yoki (1.3.6) tenglamaning rezolventasi deb ataladi.
Endi integral tenglamalar nazariyasida muhim o‘rin tutadigan Fredgolm teoremalarini keltirib o‘tamiz [6,15,17,18].
Buning uchun avvalo, o‘zgaruvchilari ajraladigan yadroli Fredgolm tenglamalarini qaraymiz.
Ta’rif. Agar
(1.3.19)
Fredgolm tenglamasining yadrosi
(1.3.20)
ko‘rinishga ega bo‘lsa, bu yadro o‘zgaruvchilari ajraladigan (aynigan) yadro deb ataladi (puschasiga vыrojdennoe yadro deyiladi). Bu yerda va , , -berilgan haqiqiy uzluksiz funksiyalar. va funksiyalar sistemasining har biri chiziqli bog‘liq emas deb hisoblaymiz, aks holda (1.4.20) dagi qo‘shiluvchilar soni kamaytirilgan bo‘lar edi. (1.4.20) ni (1.4.19) ga qo‘ysak
(1.3.21)
tenglama hosil bo‘ladi. Bu tenglamani quyidagi ko‘rinishda yozib olish mumkin:
(1.3.22)
bunda
(1.3.23)
noma’lum o‘zgarmas sonlar, chunki noma’lum.
Shu o‘zgarmas larni Shunday tanlab olaylikki, (1.3.22) bilan aniqlangan funksiya (1.3.21) tenglamani qanoatlantirsin. Shu maqsadda, (1.3.22) ni (1.3.21) ga qo‘yamiz va natijada hosil bo‘lgan tenglikni ushbu ko‘rinishga keltiramiz.

Bundan funksiyalarning chiziqli bog‘liq emasligidan (boshidan Shunday deb hisoblab kelinayotgan edi)

ekanligi kelib chiqadi. Bu tenglikni esa yana boshqacha yozib olish mumkin.
(1.3.24)
bu yerda

Shunday qilib, (1.3.21) tenglamaning yechimini topishni (1.3.24) algebraik tenglamalar sistemasini echishga keltirildi.
Shu bilan birga (1.3.21) tenglamaning bir jinsli holi, ya’ni
(1.3.26)
tenglama ham , xuddi Yuqoridagi kabi
(1.3.27)
bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasiga keltiriladi.
Bizga algebra kursidan ma’lumki, (1.3.24) tenglamalar sistemasi har doim (ixtiyoriy o‘ng tomon lar uchun) birdan-bir yechimga ega bo‘ladi, agarda
(1.3.28)
o‘rinli bo‘lsa. Bu yerda

Ko‘rinib turibdiki, parametr ga nisbatan -chi darajali ko‘pxad (polinom) dir. Demak (1.3.28) shart tenglamaning ildizlari bo‘lgandagina buziladi. Bunday ildizlarni desak, bilamizki bo‘ladi. Mana Shu ildizlar yadroning maxsus sonlari (qiymatlari) deyiladi.
Demak, parametr ning sonlardan farqli har qanday qiymatida (1.3.24) sistema yagona yechim ga ega ekan. Shu sistemani echishda topilgan larni (1.3.22) tenglikning o‘ng tomoniga qo‘yib, (1.3.21) integral tenglamaning yechimini olamiz.
Shunday qilib, Fredgolmning quyidagi 1- teoremasi isbotlandi: Teorema 1. Agar parametr yadroning maxsus soni bo‘lmasa, u holda (1.3.21) integral tenglama har qanday uzluksiz o‘ng tomon uchun yagona yechimga ega.
Shu bilan birga, biz qarayotgan bo‘lgan holda (1.3.26) bir jinsli integral tenglama faqat trivial (aynan nolga teng) yechimga ega bo‘ladi.
Haqiqatan, agar bo‘lsa, u holda (1.3.25) ga asosan hamma bo‘ladi va (1.3.27) algebraik sistema, determinanti noldan farqli bo‘lgani uchun faqat aynan nol yechimga ega bo‘ladi. Bundan (1.3.22) ga asosan bo‘ladi.
Shuni hisobga olib, Fredgolmning yukorida keltirilgan 1- teoremasini yana quyidagicha ifodalash ham mumkin: (2) integral tenglama, har qanday uzluksiz funksiya berilganda, yagona yechimga ega bo‘lishi uchun unga mos kelgan bir jinsli (1.3.26) tenglama faqat nol yechimga ega bo‘lishi zarur va etarlidir.
Shuni eslatib o‘tamizki, (1.3.19) Fredgolm tenglamasiga mos kelgan bir jinsli tenglama ushbu ko‘rinishda bo‘ladi
(1.3.29)
Quyidagi bir jinsli tenglama
(1.3.30)
esa, (1.3.29) tenglamaga qo‘shma tenglama deyiladi. Demak, (1.3.29) tenglamaning qo‘shma tenglamasini hosil qilish uchun yadro haqiqiy funksiya bo‘lganda, uning o‘zgaruvchilarining o‘rinlarini almashtirishning o‘zi kifoya, ya’ni yadro yadroga almashtiriladi. Agar kompleks funksiya bo‘lsa, uning qo‘shma yadrosi bo‘ladi, bundagi chiziq kompleks funksiyadan uning qo‘shmasiga o‘tish zarurligini ko‘rsatadi.
Yuqorida berilgan ta’rifga asosan (1.3.26) bir jinsli tenglamaning qo‘shma tenglamasi
(1.3.31)
ko‘rinishda bo‘ladi. Bu qo‘shma tenglama esa, (1.3.27) sistemaga qo‘shma bo‘lgan
(1.3.32)
algebraik tenglamalar sistemasiga keltiriladi, bu yerda

Bu yerda (1.3.32) tenglikning (1.3.27) tenglikdan farqi larning larga almashtirilganidadir, ya’ni boshqacha qilib aytganda matritsa unga qo‘shma bo‘lgan matritsa bilan almashtirilmoqda.
Endi faraz qilaylik, maxsus sonlar lardan biri bilan ustma-ust tushsin va matritsaning rangi ga teng bo‘lsin. U holda chiziqli algebra kursidan ma’lumki, bir jinsli algebraik sistema (1.3.27) va unga qo‘shma bo‘lgan (1.3.32) algebraik sistema ham chiziqli bog‘liq bo‘lmagan yechimlarga ega bo‘ladi.
Bu yechimlarni
va (1.3.33)
deb belgilaylik.
Topilgan larni, deb turib, (1.3.22) tenglikka qo‘ysak
(1.3.34)
yechimlarni olamiz. Huddi Shuningdek
(1.3.35)
yechimlarni hosil qilamiz. (1.3.34) va (1.3.35) formulalar bilan aniqlangan va funksiyalar (1.3.26) va (1.3.31) bir jinsli tenglamalarning chiziqli bog‘liq bo‘lmagan yechimlaridir.
Shunday qilib, biz quyidagi Fredgolmning 2-teoremasini isbotladik:
Teorema 2. (1.3.21) tenglamaga mos kelgan bir jinsli (1.3.26) tenglama va unga qo‘shma bo‘lgan (1.3.31) bir jinsli tenglama teppa-teng tadan chiziqli erkli yechimlarga ega.
funksiyalar yadroning maxsus songa mos maxsus funksiyalari deyiladi.
Bizga algebra kursidan yana Shu ham ma’lumki, agar maxsus son bo‘lsa, u holda (1.3.24) algebraik sistema har qanday o‘ng tomoni lar uchun ham yechimga ega bo‘lavermaydi. Bu sistemaning yechimga ega bo‘lishi uchun lar
(1.3.36)
shartlarni qanoatlantirishi zarur va etarlidir. Bu (1.3.36) shartlar (1.3.25) va (1.3.35) larga binoan quyidagi shartlarga teng kuchlidir:
(1.3.37)

Endi Fredgolmning 3-nchi teoremasini keltiramiz:
Teorema 3. (1.3.21) inegral tenglama yechimga ega bo‘lishi uchun uning o‘ng tomoni bir jinsli qo‘shma (1.3.31) tenglamaning barcha yechimlari ga ortogonal bo‘lishi zarur va etarli.
Endi 2-turdagi Fredgolm tenglamasi
(1.3.38)
ni ixtiyoriy uchun qaraylik. Bu deganimiz parametrning (1.3.9) shartga bo‘ysinishi talab qilinmaydi.
Matematik analiz kursidan ma’lumki, agar funksiya kvadratda uzluksiz bo‘lsa, u holda har qanday oldindan berilgan uchun Shunday chiziqli erkli uzluksiz funksiyalar sistemasi , , va , topiladiki
(1.3.39)
tenglik o‘rinli bo‘ladi va kvadratda
(1.3.40)
tengsizlik bajariladi.
Veyershtrass teoremasiga binoan va lar sifatida polinomlar olinishi mumkin. Qaralayotgan (1.3.38) tenglama yadrosi ni (1.3.39) formula orqali ifodalab, (1.3.38) tenglamani quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz
(1.3.41)
bu yerda
(1.3.42)
Har qanday fiksirlangan uchun ni Shunchalik kichik qilib tanlaymizki,
(1.3.43)
tengsizlik bajarilsin. U holda (1.3.41) tenglama uchun (1.3.43) ga binoan (1.3.9) shart bajariladi, demak, (1.3.41) tenglama yagona yechimga ega va bu yechim (1.3.18) formulaga asosan yadroning rezolventasi orqali yoziladi:
(1.3.44)
Bu formuladagi lar o‘rniga uning (1.3.42) tenglik orqali ifodalangan qiymatini qo‘yib, ma’lum va noma’lumlarni ajratib topamiz:
(1.3.45)
bunda


Shunday qilib, ixtiyoriy chekli uchun (1.3.38) Fredgolm integral tenglamasi o‘zgaruvchilari ajraladigan yadroli (1.3.45) tenglamaga ekvivalent ekan.
Bunday (1.3.45) tenglamalar esa Yuqorida har qanday chekli uchun batafsil o‘rganildi. Ana Shu olingan natijalardan, Fredgolm teoremalaridan kelib chiqib, quyidagi Fredgolm alternativalarini keltiramiz:
ning har bir chekli qiymati uchun, (1.3.38) ga mos bir jinsli integral tenglama noldan farqli yechimga ega emas va bu holda (1.3.38) tenglama har doim ixtieriy o‘ng tomon uchun yagona yechimga ega, yoki bir jinsli integral tenglama va unga qo‘shma bo‘lgan bir jinsli tenglama ham bir xil sondagi chiziqli bog‘liq bo‘lmagan yechimlarga ega va bu holda (1.3.38) integral tenglama har qanday uchun yechimga ega bo‘lavermaydi, yechimga ega bo‘lishi uchun esa uning o‘ng tomoni bir jinsli qo‘shma (1.3.30) tenglamaning barcha chiziqli erkli yechimlari (1.3.35) ga ortogonal bo‘lishi zarur va etarlidir.
Odatda, chegaraviy masalalarni echish integral tenglamalarga keltirilsa, aynan yuqorida keltirilgan Fredgolm teoremalari va alternativasidan keng foydalaniladi.