Mavzu: parabolik tenglama uchun integral shartli masala. I bob. Parabolik tipdagi tenglamalar va asosiy chegaraviy masalalarning qо‘yilishi

Teorema 2.3.1. Agar va bo’lsa, (2.3.1)-(2.3.3) masalaning yagona yechimi mavjud va bu yechim (2.3.12) qator bilan aniqlanadi, qatorning koeffitsientlari esa (2.3.14) formula bo’yicha hisoblanadi.
Shunday qilib, biz 2-paragrafdagi (2.1.1)-(2.1.3) masalaning mavjudligini ko’rsatish uchun birinchi navbatda yordamchi (2.3.1)-(2.3.3) masala yechimining mavjudligini ko’rsatdik. Endi esa quyidagi masalani echaylik: to’g’ri to’rtburchakda bir jinsli bo’lmagan
(2.3.15)
tenglamaning bir jinsli
_(2.3.16)
boshlang’ich va bir jinsli
(2.3.17)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin. Bu yerda funksiya uzluksiz va bo’yicha bo’lakli uzluksiz hosilaga ega, hamda barcha lar uchun bo’lsin deb faraz qilamiz.
Bu masalaning yechimini
(2.3.18)
ko’rinishida izlaymiz. (2.3.18) ni (2.3.15) tenglamaga qo’yishdan oldin funksiyani sinuslar bo’yicha Fure qatoriga yoyib ( funksiyaga qo’yilgan shartlar bunga imkon beradi), topamiz
(2.3.19)
bu yerda

(1.4.18) qatorni (1.4.15) ga qo’yib va (1.4.19) ni hisobga olib yoza olamiz:

Bundan esa
(2.3.20)
tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz.
(2.3.18) qatorni (2.3.16) boshlang’ich shartga qo’yib

ekanligini topamiz, bundan esa funksiyalar uchun
(2.3.21)
boshlang’ich shartlarga ega bo’lamiz.
(2.3.20), (2.3.21) masalaning yechimini topish qiyin emas:
(2.3.22)
Shu (2.3.22) yechimni (2.3.18) ga qo’yib, (2.3.15)-(2.3.17) masalaning yechimini hosil qilamiz
(2.3.23)
E s l a t m a . Topilgan (2.3.23) yechimga yuqorida biz echgan (2.3.1)-(2.3.3) masalaning yechimi (1.4.12) ni qo’shib qo’yilsa, hosil bo’lgan yig’indi (1.4.15) tenglamaning (1.4.16) va (1.4.17) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bo’ladi.
Endi yuqoridagi 2-paragrafdagi umumiy birinchi chegaraviy masala (2.1.1)-(2.1.3) ga qaytsak, uni hozirgina yechilgan masalaga keltirish mumkin. Shu maqsadda yangi funksiyani kiritaylik:

Bu yerda
- ma’lum funksiya.
Noma’lum funksiya uchun esa

tenglamaga va

boshlang’ich, hamda


bir jinsli chegaraviy shartlarga ega bo’lamiz. funksiya uchun hosil qilingan bu masalani biz (2.3.1)-(2.3.3) masala va (2.3.15)-(2.3.17) masalalarga ajratib echib qo’ydik.