Mavzu: parabolik tenglama uchun integral shartli masala. I bob. Parabolik tipdagi tenglamalar va asosiy chegaraviy masalalarning qо‘yilishi

2.4-§. Chegaraviy masalalar yechimlarining mavjudligi va yagonaligi.

Endi (2.1.1)-(2.1.3) masala yechimining mavjudligini isbotlaymiz. Yechimning mavjudligini o’zgaruvchilarni ajratish, Fure usuli bilan ko’rsatamiz. (2.1.1)-(2.1.3) masalani echishni, uning xususiy holi bo’lgan quyidagi soddaroq masalani echishdan boshlaymiz: bir jinsli

(2.3.1)
tenglamaning
(2.3.2)
boshlang’ich va
(2.3.3)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin. Bu yerda uzluksiz bo’lakli hosilaga ega va shartlarni bajaradigan funksiya. (2.3.10)-(2.3.3) masalani Fure metodi bilan echamiz.
Yechimni quyidagi

(2.3.4)

ko’rinishda izlaymiz. Bunda faqat ning, faqat ning funksiyasi bo’lib, bo’lishi kerak.
Bu ko’rinishdagi yechimni (2.3.1) tenglamaga qo’yib,

yoki

tenglikni hosil qilamiz. Bundan esa
(2.3.5)
(2.3.6)
tenglamalarga ega bo’lamiz. Bu yerda (1.4.6) tenglamaning
(2.3.7)
shartlarni qanoatlantiradigan, lekin aynan nolga teng bo’lmagan yechimini topish lozim, chunki, shundagina (2.3.4) ko’rinishdagi yechim (2.3.6) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi va bo’ladi.
Shunday qilib, biz parametrning Shunday qiymatlarini topishimiz kerakki, (2.3.6) tenglamaning yechimi (2.3.7) shartlarni qanoatlantirsin va aynan nolga teng bo’lmasin.
parametrning bunday qiymatlari xos qiymatlar, unga mos kelgan yechim esa (2.3.6), (2.3.7) masalaning xos funksiyalari deyiladi. (2.3.6), (2.3.7) masalaning o’zi esa Shturm-Liuvill masalasi deb yuritiladi.
(2.3.6), (2.3.7) masalaning xos qiymatlari va xos funksiyalarini topish uchun bo’lishi mumkin bo’lgan uch hol: ni alohida-alohida ko’rib chiqamiz.
1) bo’lsa, (2.3.15) tenglamaning umumiy yechimi

bo’ladi, va - ixtiyoriy o’zgarmas sonlar. Bu yechimni (2.3.7) chegaraviy shartlarga qo’ysak,

bo’lib, undan ekanligi kelib chiqadi. Demak, bu holda .
2) bo’lsa, (1.4.6) tenglamaning umumiy yechimi

bo’ladi va (2.3.7) shartlarga qo’ysak, yana chiqadi, demak, .
3) bo’lsa, (2.3.6) tenglamaning umumiy yechimi

bo’ladi va uni (1.4.7) qo’ysak

kelib chiqadi. Bundan va bo’lishini topamiz.
Endi deya olmaymiz, chunki unda yana bo’lib qoladi. Shuning uchun
ya’ni
deyishimiz kerak, bunda -ixtiyoriy butun son. Demak (2.3.6), (2.3.7) masalaning noldan farqli yechimi faqatgina
(2.3.8)
qiymatlarda mavjud bo’lar ekan.
Bu xos qiymatlarga
(2.3.9)
parametrning (2.3.8) xos qiymatlariga (2.3.5) tenglamaning
(2.3.10)
yechimlari mos keladi, - ixtiyoriy o’zgarmas sonlar.
Qaralayotgan (2.3.1) tenglama chiziqli bo’lganligi uchun
(2.3.11)
funksiyalarning barchasi (2.3.1) tenglamani va (2.3.3) shartlarni qanoatlantiradi. Shu funksiyalardan quyidagi qatorni tuzamiz
(2.3.12)
va undan (2.3.2) boshlang’ich shartni bajarishini talab qilib, topamiz
(2.3.13)
Hosil qilingan bu (2.3.13) formula esa funksiyaning oraliqda sinuslar buyicha Fure qatoriga yoyilmasidir. Bilamizki, bu qatorning koeffitsientlari lar
(2.3.14)
formula bilan aniqlanadi. Yuqorida funksiyaga nisbatan qo’yilgan talablar (2.3.13) qatorning funksiyaga tekis va absolyut yaqinlashishini ta’minlaydi. Shu bilan birga ixtiyoriy uchun

bo’lganligidan (2.3.12) qator ham tekis va absolyut yaqinlaShuvchi va funksiya sohada uzluksiz bo’ladi hamda boshlang’ich va chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
(2.3.12) qatordan bo’yicha bir marta va bo’yicha ikki marta hosila olgandan keyin hosil bo’lgan qatorlar tekis va absolyut yaqinlaShuvchi bo’lsalar, (2.3.12) qator bilan aniqlangan funksiya (2.3.1) tenglamani ham qanoatlantiradi. Keyingi qatorlarning yaqinlashishi esa ixtiyoriy uchun

tengsizliklar, etarli darajada katta bo’lganda, o’rinli ekanligidan kelib chiqadi.
Shunday qilib, biz qo’yilgan masala yechimining mavjudligi haqidagi quyidagi teoremani isbotladik.