Mavzu: parabolik tenglama uchun integral shartli masala. I bob. Parabolik tipdagi tenglamalar va asosiy chegaraviy masalalarning qо‘yilishi

Teorema 2.1.2. Agar (2.1.1)-(2.1.3) masalaning yechimi mavjud bo’lsa u yagonadir.
Isbot. Haqiqatan ham, agar yechim ikkita va desak, ularning ayirmasi bir jinsli (1.2.6) tenglamani qanoatlantiradi va biz quyidagi masalaga kelamiz.
Berilgan sohada (2.1.6) tenglamaning
(2.1.8)
boshlang’ich va
(2.1.9)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
U holda ekstremum prinsipiga binoan funksiyaning sohadagi eng katta qiymati ham, eng kichik qiymati ham nolga teng, demak yoki .
Teorema 2.1.2. isbotlandi.
Endi isbotlangan ekstremum prinsipidan foydalanib (1)-(3) birinchi chegaraviy masala yechimining turg’unligini olamiz.
Teorema 2.1.3. Agar (2.1.1)-(2.1.3) masalaning yechimi va funksiyalarga uzluksiz bog’liq bo’ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, funksiya (2.1.1)-(2.1.3) masalaning va funksiyalarga bog’liq bo’lgan yechimi, funksiya (2.1.1)-(2.1.3) masalaning va funksiyalarga bog’liq bo’lgan yechimi bo’lsin. Berilgan funksiyalar uchun



Tengsizliklar bajarilsin. U holda uchun ekstremum prinsipidan kelib chiqqan 2-xossaga ko’ra

.
bo’ladi. Bundan sohada tengsizlikni olamiz. Bu tengsizlik (2.1.1)-(2.1.3) masalaning turg’un ekanligini isbotlaydi.
Teorema 2.1.3. isbotlandi.


2.2-§. Grin funksiyasi.
Biz bayon qilmoqchi bo’lgan bu usulda avvalo qaralayotgan tipdagi maxsus masalaning maxsus yechimi topiladi va bu yechim orqali dastlabki masalaning yechimi kvadraturalarda ifodalanadi.
1.Aytaylik, parabolik operator bo’lsin va ushbu masalani qaraylik:
sohada
(1)
=0 (2)
(3)
masalaning yopiq sohada regulyar yechimi topilsin.
Faraz qilaylik,har qanday (bu yerda ))nuqta uchun funksiya ushbu
(4)
=0 (5)
(6)
maxsus masalaning da uzluksiz bo’lgan yechimi bo’lsin,bu yerda Dirakning –funksiyasi.
Ana shunday aniqlangan funksiyaga (1),(2),(3) masalaning Grin funksiyasi deyiladi.Agar G-Grin funksiyasi ma’lum deb faraz qilsak, (1),(2),(3) masalaning yechimi
(7)
kvadraturalarda ifodalanadi,bu yerda .
Haqiqatan, qiymatlarida (7) tenglikning o’ng tarafini nuqtaning koordinatalari va bo’yicha kerakli marta integral ostida differensiallasak,
(8)
tengliklarga ega bo’lamiz.
Grin funksiyasining xossalari.
1) Barcha D sohada G(x ,ξ ) ≥0 . Haqiqatan ham , G(x ,ξ ) funksiyaning maxsus nuqtasi ξ ni markaz qilib yetarli kichik δ radiusli shar chizamiz , bu sharning chegarasi S_δ orqali , D-Q_δ ni esa D_δ orqali belgilab olamiz.
bo’lgani sababli yetarli kichik δ uchun sharda G(x ,ξ ) > 0 bo’ladi .
Demak , D_δ sohaning S+ S_δ chegarasida G(x ,ξ ) ≥0 .
Bundan ,ekstremum printsipiga asosan ,x€ D_δ nuqtalar uchun ham G(x ,ξ ) ≥0 bo’ladi .Bundan darhol barcha D U S da G(x ,ξ ) ≥0 ekanligi kelib chiqadi .
2) x€D nuqtalarda
(9)
Bu tenglik (31) formuladan barcha D da u(x)=1 bo’lganda darhol kelib chiqadi
3) G(x,ξ) Grin funksiyasi x va ξ nuqtalarga nisbatan simmetrik funksiyadir ,ya’ni
G(x,ξ)= G(ξ,x) (10)
Bu xossani isbotlash uchun x, ξ € D nuqtalarni markaz qilib ,yetarli kichik ε radiusli sharlarni chizamiz Bu sharlarning chegarasini C va C¹ orqali belgilab olamiz .
desak , sohada G(y,x) , G(y,ξ) funksiyalar garmonik bo’ladi . Bu holda (7) ga asosan
(11)
Ushbu
(12)
Tenglik o’rinli bo’ladi . bo’lgani uchun
(13)

Tenglik hosil bo’ladi .Bundagi birinchi integralni J₁ orqali belgilab olamiz ,ya’ni

(14)
Bunda y€ C , bo’lgani sababli ,C da
(15)
tengsizliklar o’rinli bo’ladi .
(16)
ni e’tiborga olsak , C da r=ε bo’lgani uchun

Tengsizlikka ega bo’lamiz . Bunga asosan
(17)

(32) tenglikdagi ikkinchi integralni orqali belgilab olamiz , yani

. (18)
n- sohaga nisbatan tashqi normal bo’lgani uchun . Shu sababli C da
.
Demak ,
(19)
Ravshanki ,

y=x+θε almashtirishni bajarsak ,y€ C bo’lganda , θ€ S₁ ­­­­ -birlik sfera bo’ladi .Shu sababli
(20)
Bunga asosan ,

Xuddi shunga o’xshash

(21)
Demak , G(x,ξ)= G(ξ,x) .
CHekli sohalarda issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamalari uchun quyilgan masalalarni Grin funksiyasi yordamida yechish.
Ushbu
(1)


Chekli sohada aniqlangan issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun qo’shma tenglama
( 2 )
ko’rinishda bo’ladi .
Har qanday yetarlicha differintsiallanuvchi u va v funksiyalar uchun quyidagi
(3)
ayniyat o’rinli . (3) ayniyatni APQB AEFB s oha bo’yicha integrallab (1) tenglamaning ixtiyoriy yechimini beruvchi
(4)
asosiy integral formulani olamiz , bu yerda
(5)
funksiya (x,t) bo’yicha (1) tenglamani ,(ξ,τ) bo’yicha esa (2) tenglamani qanoatlantiradi.
Ta’rif. I-aralash (chegaraviy ) masalaning Grin funksiyasi deb , quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi G₁ (x,t;ξ,τ) funksiyaga aytiladi .

1. 
   G₁ (x,t;ξ,τ) funksiya PABQ sohada aniqlangan va har qanday t>τ uchun ,
   

(ξ,τ) bo’yicha (2) tenglamani qanoatlantiradi ;

2. 
   Ushbu
   

(8)
(9)
Bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi ;
3) (10)
bo’ladi;
4) ixtiyoriy λ>0 uchun , ya’ni ;
5) ( 11)
ko’rinishida bo’ladi , bu yerda vunksiya quyidagi
(12)
shartlarni qanoatlantiruchi (2) tenglamaning regulyar yechimidir, funksiya esa (5) formula orqali aniqlanadi.
(11) Grin funksiyasidan va (4) formuladan foydalanib, I-aralash masalaning yechimi quydagicha
(13)
topiladi .
Agar , bo’lib , AB esa (0,l) intervaldan iborad bo’lsa , u holda (1), (6), (7) I-aralash masalaning yechimi (13) formulaga ko’ra (14)
ko’rinishda bo’ladi , bu yerda

(14) formuladagi G₁ (x,t;ξ,τ) Grin funksiyasini akislantirish usuli yordamida tuziladi . Bunda musbat manbalar 2nl +ξ nuqtalarda , manfiy manbalar 2nl- ξ nuqtalarda joylashtirib , uning ko’rinishi quyidagicha ifodalanadi
(15)
Bu yerda U(x;ξ,t-τ)- funksiya (5) formula orqali topilib , y (1) tenglamaning fundamental yechimi bo’ladi .

15. 
    qatorni quyidagi ko’rinishda ham yozib olish mumkin :
    

(16)
Bu yerda
(17)
Bunda -belgi (15) qatordan (5) ko’rinishdagi hadni ayirib tashlanganligini bildiradi . (17) qatorning hadlari x va t bo’yicha sohada istalgan tartibda hosilalarga ega . (17) qator (t* -ixtiyoriy musbat son ) sohada absolyut va tekis yaqinlashuvchi bo’ladi .Xuddi shunday (17) qatorni x va t bo’yicha hadlab differintsiallash natijasida hosil bo’lgan qatorlar ham sohada absolyut va tekis yaqinlashuvchi bo’ladi . Hamda t→τ , t>τ bo’lganda qatorning har bir hadi nolga intiladi .
Shunday qilib ,(16) qator bilan aniqlangan G₁ (x,t;ξ,τ) funksiya Grin funksiyasi uchun quyilgan 1) , 2) , 3), 4) , shartlarni qanoatlantiradi .