Mavzu: pirsonning xi-kvadrat statistikasi va uning tadbiqlari topshirdi: raxmonov. A qabul qildi: xaytboyev. S

Parametrik statistik alomat tuzish usullari.
Tabiiyki t. e. q. alomat har doim mavjud bo'lavermaydi. Endi parametrik statistik alomatlar orasida bo'ladigan holni ko'raylik. Faraz qilamiz, parametlar to'plam ikki elementdan iborat bo'lsin: Asosiy gipoteza ga asosan bo 'lsin. U holda alternativ gipotezaga ko'ra esa bo 'ladi.
Demak, shartga binoan biz o'rganayotgan X t.m. gipotezaga asosan taqsimotga, ammo raqobatlashuvchi gipotezaga ko'ra esa taqsimotiga ega bo’ladi. Hajmi ga teng bo 'lgan tanlanma asosida qaysi gipoteza to'g'ri ekanini aniqlash kerak. Bu statistik masala Yu. Neyman va E. Pirsonlar tomonidan hal qilingan.
Faraz qilaylik, va taqsimot funksiyalar absolut uzluksiz taqsimot funksiyalar bo’lib, mos ravishda va lar ularning zichlik funksiyalari bo'lsin. Quyidagi nisbatni ko'raylik

Mana shunday aniqlangan haqiqatga o’xshashlik nisbati deyiladi. Bu funksiya bilan bo 'g'liq

ehtimollikni kiritamiz. Bu yerda - soni tenglama bilan aniqlanadi.
Teorema(Neyman - Pirson). Yuqorida keltirilgan shartlar bajarilganda har doim tekis eng quvvatli alomat mavjud va u quyidagi kritik to'plam bilan aniqlanadi

Bu yerda c-kritik nuqta tenglamadan topiladi.
T. e. q. alomat taqsimoti funksiyasi absolyut uzluksiz bo'lgan hol uchun keltirildi. Ammo bunday alomat diskret taqsimotlar uchun ham mavjud bo 'ladi.
2-misol. lar noma'lum o'rta qiymatli va ma'lum dispersiyali normal taqsimlangan t.m.ning bog 'liqsiz tajribalar natijasida olingan kuzatilmalari bo'lsin. Asosiy gipotezaga ko'ra , raqobatlashuvchi gipoteza ga ko'ra va bo ‘lsin. Demak,

Endi haqiqatga o'xshashlik statistik nisbati ni topaylik
$
U holda tengsizlik quyidagi

tengsizlikka ekvivalent. Oxirgi tengsizlikni quyidagicha yozish mumkin.

- tanlanma o'rta qiymat va - parametrlik normal qonun bo'yicha taqsimlangani uchun

Bu yerda - Laplas funksiyasi. Tanlangan ixtiyoriy ehtimollik uchun, tengliklar bajariladigan soni har doim mavjud. Demak, Neyman - Pirson teoremasining barcha shartlari qanoatlantiriladi. Shu teoremaga asosan t. e. q. alomat mavjud va uning kritik to'plami quyidagicha aniqlanadi.

Mana shu alomatning quvvatini hisoblaylik. Alternativ gipotezaga ko'ra tanlanmaning o'rta qiymati va - parametrli normal qonun bo'yicha taqsimlangandir. U holda

(3)
Bu munosabatdan

ekanligi kelib chiqadi.
Endi quyidagi masalani ko'raylik. Alomatning qiymatdorlik darajasi ga teng bo’lganida, ikkinchi tur xatolik ga teng bo 'lishi uchun nechta kuzatilma kerak?; ya'ni tanlanmaning hajmi qanday bo'lishi kerak? Kerakli soni topish uchun ikkita tenglamaga egamiz. Bular
(4)
tenglamaning yechimini ko'raylik. Bu tenglamaning yechimi normal qonunning chi kvantili deyiladi. U holda (4) ga asosan ,

Oxirgi ikki tenglikdan

munosabatga ega bo'lamiz. Qidirayotgan son butun bo'lishi lozim. Shuning uchun,

Bu erda sonning butun qismi. Masalan, bo'lsa, u holda bo 'ladi; agarda bo’lsa, bo’ladi.