Mavzu: Shartli yaqinlashuvchi qatorlar haqidagi Riman teoremasi Bajargan: Aydarova Dilfuza Qabul qilgan: Reimbaeva Dilafruz Nukus 2021 reja

1.6.Musbat qatorlar.
1.6.1.Musbat qatorlarning yaqinlashish sharti: Agar berilgan qatorning hadlari nomanfiy, ya’ni bo’lsa, bu qator musbat qator (yoki musbat hadli qator) deyiladi. Ravshanki, musbat qatorlarning xususiy yig’indilari ketma-ketligi kamaymaydigan ketma-ketlik bo’ladi, chunki , bundan . Monoton ketma-ketlikning limiti haqidagi teoemadan musbat qatorlar uchun quyidagi yaqinlashish sharti kelib chiqadi:
1-teorema. Musbat qator yaqinlashuvchi bo’lishi uchun uning xususiy yig’indilaridan tuzilgan ketma-ketlikning yuqoridan chegaralangan bo’lishi zarur va yetarli.
Bu teoremadan ko’rinadiki, musbat qatorlarni yaqinlashishga tekshirish uchun uning xususiy yig’indilaridan tuzilgan ketma-ketlikning yuqoridan chegaralanganligini ko’rsatish yetarli ekan. Quyida isbotlari shu teoremaga asoslangan musbat qator yaqinlashishining bir nechta yetarli shartlarini ko’rib chiqamiz.
1-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.


Yechish: Qatorning n-xususiy yig’indisini yozib olamiz:


bo’lganligi sababli


munosabatlar o’rinli. Demak, barcha n

lar uchun ya’ni qatorning xususiy yig’indilari ketma-ketligi yuqoridan chegaralangan. 1-teoremaga ko’ra berilgan musbat qator yaqinlashuvchi bo’ladi.

1.6.2.Taqqoslash alomatlari.
2-teorema. Aytaylik,


(1)


(2)

musbat qatorlar berilgan bo’lsin. Biror nomerdan boshlab munosabat o’rinli bo’lsa, u holda

1. 
   (2) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, (1) qator yaqinlashuvchi bo’ladi;
   
2. 
   (1) qator uzoqlashuvchi bo’lsa, (2) qator ham uzoqlashuvchi bo’ladi;
   

Isbot: Aytaylik, , bo’lsin. Shartga ko’ra

mubosabat o’rinli, bundan tengsizlik kelib chiqadi.

1. 
   Agar (2) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan. Demak, (1) qator xususiy yig’indilardan tuzilgan ketma-ketlik ham yuqoridan chegaralangan. Bundan (1) qator yaqinlashuvchidir.
   
2. 
   (1) qator uzoqlashuvchi bo’lsin, u holda ketma-ketlik yuqoridan chegaralanmagan. Demak, ham yuqoridan chegaralanmagan. Bundan va qator uzoqlashuvchi.
   

2-misol. Birinshi taqqoslash alomatidan foydalanib,


qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish: Ushbu qatorni qaraymiz: .
Ravshanki, . Mahraji bo’lgan geometrik qator yaqinlashuvchi, demak 1-teoremaga ko’ra berilgan qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi.
Yuqorida isbotlangan teremadan bir nechta foydali natijalar kelib chiqadi. Bunda biz (2) qator hadlarini musbat, (1) qator hadlarini nomanfiy deb qaraymiz.


1-natja. Agar (1) va (2) qatorlar uchun ( ) mavjud bo’lsa, u holda (2) qatorning yaqinlashuvchi ekanligidan (1) qatorning yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.
Isboti: Haqiqatdan ham, agar mavjud bo’lsa, u holda limitning ta’rifiga ko’ra har qanday musbat son (masalan, olaylik, shunday nomer topilib, larda tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bundan esa tengsizlik hosil bo’ladi. Shartga ko’ra bo’lganligi sababli, so’ngi tengsizlikni ko’rinishda yozib olish mumkin. Endi, (2) qator yaqinlashuvchi, demak, 1-teoremaga ko’ra umumiy hadi bo’lgan qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi. U holda yuqorida isbotlangan taqqoslash alomatiga ko’ra (1) qator yaqimlashuvchi bo’ladi.
Izoh. bo’lganligi sababli bo’ladi. Natija xulosasi k=0 da ham o’rinli ekanligi ravshan.


2-natija. Agar (1) va (2) qatorlar uchun mavjud bo’lsa, u holda (2) qatorning uzoqlashuvchi ekanligidan (1) qatorning uzoqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.
Isboti: Agar (1) qator yaqinlashuvchi bo’lsa bo’lganda edi, u holda munosabat va 1-natijaga ko’ra (2) qator yaqinlashuvchi bo’lar edi. Bu esa shartga zid. Shuningdek, bo’lganda ham bo’lib, yuqoridagi natijaga ko’ra ziddiyatga kelamiz.
Yuqoridagi ikki natijadan quyidagi natija kelib chiqadi:


3-natija. Agar (1) va (2) qatorlar uchun mavjud bo’lsa, u holda (1) va (2) qatorlar bir vaqtda yaqinlashuvchi, yoki bir vaqtda uzoqlashuvchi bo’ladi.
3-misol. qatorni qator bilan taqqoslaymiz. nisbatni ko’ramiz. Ma’lumki, Demak, berlgan qator uzoqlashuvchi.