Mavzu: Tezlik vektori uyurma va tezlik divirgensiyasi berilganda hisoblash. Topshirdi

2.3.Vektorning divergensiyasi tushunchasi

Vektorning divergensiyasi tushunchasini kiritish uchun deformatsiya tezliklari tenzoridan foydalanamiz. Buning uchun biror t paytdagi tutash muhit nuqtalaridan tashkil topgan cheksiz kichik

sferani qaraymiz. Vaqt t ga o’zgarganda deformatsiya natijasida, bu sfera ellipsoidga o’tadi va uning tenglamasi bosh o’qlarga nisbatan

ko’rinishda bo’ladi. Vaqtning dt oralig’ida bu sferaning hajmi qanday o’zgarishini qaraymiz. Ixtiyoriy t vaqtda uning hajmi

t+t paytda esa ellipsoidning hajmi

bo’ladi. U holda muhit cheksiz kichik hajmining nisbiy o’zgarishi v _o va t nolga intilganlarida
(11.1)
ga teng bo’ladi.
Ko’rinib turibdiki, yig’indi invariantdan iboratdir. U ham bo’lsa deformatsiya tezliklari tenzorining birinchi invariantidir. Ma’lumki bu invarantni ixtiyoriy egri chiziqli koordinatalar sistemasida

ko’rinishda yozish mumkin. Ikkinchi tomondan larning ta’rifiga ko’ra
.
Oxirgi invariant miqdor tezlik vektori divergensiyasi deyiladi va div kabi belgilanadi
. (11.2)
Dekart koordinatalari sistemasida
(11.3)
Keltirilgan (11.1) formuladan ko’rinadiki, mexanika nuqtai nazaridan div uzluksiz muhitning cheksiz kichik alohida hajmining nisbiy o’zgarish tenzorlaridan iboratdir
(11.4)

2. Vektor maydonining rotasiyasi

Endi vektorning rotasiyasi tushunchasini kiritamiz. Faraz qilaylik biror uzluksiz vektorli maydon berilgan bo’lib, vektori koordinatalar bo’yicha birinchi tartibli hosilalarga ega bo’lsin. Qaralayotgan vektorini tezlik vektori ning o’rniga qo’yib maydon uchun (10.14) formulani quyidagicha yozish mumkin

(11.5)
bu erda

(11.6)
Oxirgi (11.6) formula Dekart koordinatalari sistemasida yozilgan. Ushbu (11.6) formula yordamida kiritilgan vektori vektorining rotasiyasi deyiladi va
(11.7)
kabi belgilanadi.
Xuddi (11.2) ga o’xshash vektorining divergensiyasini ham kiritish mumkin

yoki Dekart koordinatalari sistemasida

Bundan oldingi (10.10) va (11.6) (11.7) formulalardan ko’rinadiki, uyurma vektori

tezlik vektori rotasiyasining yarmiga teng.