Mavzu: To’plam tushinchasi, to’plam ustida amallar, to’ldruvchi to’plam
Download 135.44 Kb.
|
Mavzu
|
S- teng yonli uchburchaklar to'plami Y- to'g'ri burchakli uchburchaklar to'plami P- tomoni 5 sm.dan bo'lgan uchburchaklar to'plami. Bu to'plamlarni Eyler-Venn diagrammalarida tasvirlang. S ^ Y ^ P hamda S ^ Y ^ P to'plamlari qanday uchburchaklardan tuzilgan? D={0,2,5,4,7,8,12,15} to'plamni to'rtta o'zaro kesishmaydigan to'plam ostilariga ajrating. To'rtburchaklar to'plamini "to'g'ri to'rtburchak bo'lish" va "romb bo'lish" xossalariga asosan qanday sinflarga bo'lish mumkin? Natural sonlar to'plamida quyidagi uchta xossa berilgan. "2 ga karrali", "5 ga karrali" va "6 ga karrali" shu uchta xossaga ko'ra natural sonlar to'plami qanday sinflarga bo'linadi? Tub sonlar to'plamida shunday ikkita xossani aytingki , bu xossalarga ko'ra tub sonlar to'plami o'zaro kesishmaydigan uchta sinfga bo'linsin? FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR: 1 .Л.П.Стойлова, А.М.Пишкало. Бошлангич математика курси асослари. Тошкент, «Укитувчи», 1991. Л.П.Стойлова, Н.Н.Лаврова, Задачник практикум по математики. М. «Просвещение»,1985. Р.Иброхимов. Математикадан масалалар туплами. Тошкент. «У китувчи», 1995. Н.Я.Виленкин, А.М.Пишкало. Математика. М. «Просвещение», 1977 Н.Я.Виленкин. Рассказы о множествах. М.1962 Л.А.Колужнин. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики. М. «Просвещение»,1978. Ф.М.Косимов, П.Ёкубов. Тупламлар назарияси элементлари. Бухоро. 1991. MAVZU: TO'PLAMLARNING DEKART KO'PAYTMASI. KORTEJLAR. REJA:
Ikki to'plamning dekart ko'paytmasi. Kortejlar haqida tushuncha. Bir necha to'plamlarning dekart ko'paytmasi. To'plamlarning dekart ko'paytmasining boshlang'ich matematika kursida tutgan o'rni. TAYANCH IBORALAR: Dekart ko'paytma, kortejlar, juftliklar, komponentlar, dekart ko’paytma xossalari. Ikki to'plamning dekart ko'paytmasi ta'rifini berishdan oldin tartiblangan juftlik tushunchasi bilan tanishib chiqishimiz kerak. Buning uchun 42 sonini olib ko'raylik. Bu son 4 va 2 raqamlari yordamida yoziladi. Bu raqamlar tartiblangan holda oldin 4 raqami , so'ngra 2 soni yoziladi. Agar ularning o'rinlari almashtirilsa , u holda boshqa son 24 soni hosil bo'ladi. Demak, (4,2) bu tartiblangan juftlikdir. Umuman x va y sonlaridan iborat tartiblangan juftlikni (x,y) deb belgilaymiz. 33 sonida 2 ta bir xil raqam qatnashayapti, Bu raqamlar (3,3) tartiblangan juftlikni ifodalaydi. Shu qatordagi tartiblangan juftlikda son takrorlanib kelishi ham mumkin. Tartiblangan juftliklarni faqat sonlardangina emas, balki istalgan to'plam elementlaridan tuzish mumkin. X-to'plam berilgan bo'lsin. x va y- lar shu to'plamning elementlari. (x,y)ga tartiblangan juftlik deb aytiladi. x-ga bu juftlikning birinchi komponenti (koordinatasi) , y - ga bu juftlikning ikkinchi komponenti (koordinatasi) deb aytiladi. Faqat va faqatgina x1=x2 va y1=y2 bo'lganda (x1,y1) va (x2,y2) tartiblangan juftliklar ustma ust tushuvchi juftliklar deb aytiladi. Shuning uchun x ^ ybo’lganda (x,y) va (y,x) juftliklar turlicha juftliklardir. Masalan: X={a,b,c} to'plam elementlaridan 9 ta tartiblangan juftliklarni tuzish mumkin: (a,a), (a,b),(a,c), (b,b),(b,a), (b,c), (c,a), (c,b),(c,c). Tartiblangan juftlik tushunchasi yanada tushunarliroq bo'lishi uchun bu juftlik komponentlarini turli to'plamlardan olish etarli. Masalan, x element X to'plamdan ( to'plamning elementi istalgan ob'ekt bo'lishi mumkin) y element Y to'plamdan olinsa, tushunish oson bo'ladi. X={a,b,c,d}, Y={4,5} to'plamlar berilgan bo'lsa, bu to'plamlarning elementlaridan foydalanib juftliklar to'plamini tuzish talab qilinsa- ki, bu juftliklarning birinchi komponenti X to'plamdan, 2- komponenti Y to'plamdan tashkil topsin: { (a,4), (a,5), (b,4), (b,5), (c,4), (c,5), (d,4), (d,5)}. Bu to'plamga berilgan X va Y to'plamlarning dekart ko'paytmasi deb aytiladi va XxY kabi belgilanadi. Umuman olganda X va Y to'plamlarning dekart ko'paytmasi deb , shunday (x,y) juftliklar to'plamiga aytiladi, bu juftliklarning birinchi komponenti X to'plamdan , ikkinchi komponenti Y to'plamdan olingan bo'lsa ya'ni: XxY={(x,y)/ x e X va ye Y}. Agar X va Y to'plamlar ustma- ust tushsa ya'ni X=Y bo'lsa , u holda XxX to'plam , shunday (x,y) juftliklar to'plamidan iboratki, xe X, ye X.Masalan, X={m,n,p} u holda X =XxX={(m,m), (m,n), (m,p), (n,m), (n,n), (n,p), (p,m), (p,n), (p,p)}. Istalgan X to'plam uchun Xx0=0xX=0 o'rinli. To'plamlarning dekart ko'paytmasi kommutativlik va assotsiativlik xossalariga ega emas:
Agar X ^ Y bo'lsa, u holda XxY ^ YxX Agar X,Y,Z^ 0 bo'lsa , u holda (XxY)x Z^Xx(YxZ) Haqiqatdan ham, XxY to'plam o'z ichiga shunday (x,y) juftliklarni olganki, xe X, ye Y, lekin YxX to'plam esa (y,x) ko'rinishidagi juftliklarni o'z ichiga olgan bo'lib, ye Y, xeX. X^Y da (x,y) va (y,x) tartiblangan juftliklar turlicha juftliklardir. Shuning uchun X ^ Y da XxY, YxX to'plamlar turlichadir. Ikki chekli to'plam dekart ko'paytmasi elementlarini jadval usulida berish mumkin. Bu jadvalda vertikal bo'yicha X to'plam elementlari gorizontal bo'yicha Y to'plam elementlari yoziladi. XxY to'plam elementlari esa bu qatorlar kesishmasida yoziladi. To’plamlar cheksiz bo’lgan taqdirda ularning dekart ko’paytmasini to’g’ri burchakli dekart koordinata sistemasida tasvirlash qulaydir. KORTEJLAR HAQIDA TUSHUNCHA Xi,X2, Xn to'plamlar berilgan bo'lsin. Quyidagicha elementlarni to'playmiz: X1 to'plamdan qandaydir a1 element, X2 to'plamdan a2 elementni va hokazo Xn to'plamdan an elementni olib bu elementlarni tartib raqamlari o'sib borish tartibida joylashtiramiz: (a1,a2, an) tartiblangan "n-lik"ni hosil qildik, mana shu tartiblangan "n-lik"ga "kortej" deb aytiladi. "Kortej" so'zi frantsuzcha so'z bo'lib, "tantanali tizilish" degan ma'noni bildiradi. n-soniga kortejning uzunligi ai,a2,^.an elementlar kortejning komponentlari deb aytiladi. XbX2, Xn to'plamlar umumiy elementlariga , hatto ustma-ust tushishlari mumkin. Kortejning komponentlari turli obyektlar bo’lishi mumkin. Masalan: "paxta" so'zi uzunligi 5-ga teng bo'lgan "kortej" bo'lib, bu so'zda kortej komponentlari harflardan tuzilgan. “Parallelogramning diagonallari bir nuqtada kesishadi” - jumla kortej tashkil qiladi, bu kortejning uzunligi 5ga teng bo’lib, uning komponentlari so’zlardan iborat. Agar (a1,a2,^,an) va (bbb2,...,bm) ikkita kortejlar bir xil uzunlikka , ya'ni n=m, kortejlar mos komponentlari o'zaro bir xil bo'lsa, ya'ni a1=b1, a2=b2 va hokazo an=bn bo'lsa , u holda bunday kortejlar teng kortejlar deb aytiladi. Masalan: (a,b,c) va (a,b,c) kortejlar teng kortejlar. (a,b,c) va (b,a,c) yoki (a,b,c) va (a,b,c,d) kortejlar teng kortejlar emas. BIR NECHTA TO'PLAMLARNING DEKART KO'PAYTMASI. Kortej tushunchasidan foydalanib, n- ta to'plam dekart ko'paytmasi ta'rifini berish mumkin AbA2,....An - n ta to'plam berilgan bo'lsin. Bu to'plam elementlaridan uzunligi n ga teng bo'lgan kortejlarni tuzamiz. Bu kortej larning birinchi komponenti A1 to'plamga, ikkinchisi A2 to'plamga va hokazo. n - si An to'plamda yotadi. Kortejlarning bunday ko'rinishiga A1,A2, ...An to'plamlarning dekart ko'paytmasi deb aytiladi va u A1x xAn deb belgilanadi. Masalan, A1={ 1,2}, A2={3,4}, A3={5,6} to'plamlar berilgan. Bu to'plamlarning dekart ko'paytmasi A1xA2xA3 ni toping. A1xA2xA3= {(1,3,5), (1,3,6), (1,4,5), (1,4,6), (2,3,5), (2,3,6), (2,4,5), (2,4,6)} Boshlang'ich sinflarda o'quvchilar quyidagi masalani echadilar: "1,2, va3 raqamlaridan foydalanib, mumkin bo'lgan barcha ikki xonali sonlarni yozing". Bir ko'rib chiqish bilan o'quvchilar quyidagi tushunchaga ega bo'ladilar:
Hosil bo'lgan har bir sonning yozuvi son bilan , ikkita raqamdan iborat, bunda ularning kelish tartibi muhimdir. Masalan, 12 va 21 sonlari hosil qilingan , bular 1 va 2 raqamlaridan tuzilgan. To'plam elementlarining kelish tartibi muhim bo'lgan hamda, matematikada elementlarning tartiblangan juftliklari haqida gap boradi. Mazkur masalada biz tartiblangan juftliklar bilan ish ko'ramiz. Masalan,11, 22, 33 sonlarni "(1,1), (2,2), (3,3)" tartiblangan juftliklar sifatida qarash mumkin. Boshlang'ich sinflarda mana shunday masalalar ko'p uchraydi. NAZORAT UCHUN SAVOLLAR: Tartiblangan juftlik tushunchasini izohlang. Ikki to'plamning dekart ko'paytmasi deb nimaga aytiladi? Kortej nima? Bir necha to'plamlarning dekart ko'paytmasi deb nimaga aytiladi? To'plamlar dekart ko'paytmasi tushunchasining boshlang'ich sinf matematika kursida tutgan o'rni nimada? FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR: 1 .Н.Я.Виленкин, А.М.Пишкало. Математика-М. «Просвещение», 1977. А.А.Столяр, Л.П.Лелчук. Математика-Минск.1975. Ф.Я.Варпаховский. А.С.Солодовников. Алгебра. МГЗПИ.1974. Н.Худойбердиев. Математика. Тошкент, «Укитувчи», 1980. Л.П.Стойлова, А.М.Пишкало. Бошлангич математика курси асослари. Тошкент. «Укитувчи», 1991. Hayotda shunday masalalar uchraydiki, unda u yoki bu to'plamning qandaydir qism to'plamlarini ajratishga to'g'ri keladi. Masalan, agronomning yerlar orasidan eng mahsuldor yerni tanlash masalasi, tikuvchining sifatli mahsulotlar ishlab chiqarishi uchun yaxshi materialni tanlash masalasi, ofitserlarning soldatlar orasidan naryadlarni tanlashi, quruvchining mustahkam bino qurishi uchun qurilish materiallaridan oqilona foydalanishi, shaxmatchining yurishlardan yaxshi yurishni tanlashi , shofyorning manzilga etishi uchun barcha yo'llardan eng yaqinini tanlashi va hokazo . Bunday ko'rinishdagi masalalarda yer, material, ish , yurish u yoki bu kombinatsiyalardan foydalaniladi. Bunday ko'rinishdagi masalalarga kombinatorik masalalar deyiladi. Matematikaning kombinatorik masalalari bilan shug'ullanuvchi bo'limiga kombinatorika fani deyiladi. Kombinatorika masalalari birinchi marta ehtimollik nazariyasi vujudga kelishi munosabati bilan XVI - XVII asrlarda qaraldi. Kombinatorikada chekli to'plamlar, ularni to'plam ostilari, akslantirishlar, chekli to'plam elementlaridan tuzilgan kortejlar o'rganiladi. Shuning uchun kombinatorikani chekli to'plamlar nazariyasi qismi deb tushunish mumkin. Ko'pgina kombinatorik masalalarni echish asosan 2 ta qoida: yig'indi va ko'paytma qoidalariga asoslangan. Kombinatorikaning yig'indi qoidasi chekli to'plamlar birlashmasidagi elementlar sonini, ko'paytma qoidasi esa chekli to'plamlar dekart ko'paytmasidagi elementlar sonini topishdan iborat. Shu qoidalar bilan tanishamiz. Chekli A to'plam elementlari sonini n(A) deb belgilaylik. n ta elementdan iborat bo’lgan to'plamni n - tartibli to'plam deb ataymiz. Masalan, Agar A= {a,b,c,d,e,f} bo'lsa, u holda n(A)=6 , shuning uchun A to'plamni 6- tartibli to'plam deymiz. A to'plam m ta elementdan tuzilgan bo'lsin: B to'plam esa n ta elementdan tuzilgan bo'lsin . AUB to'plami nechta elementdan tashkil topgan? Bu masalaga hech ikkilanmasdan bu to'plamlar orasida ikki holni ko'rish mumkin:
A va В to'plamlar kesishmasi 0 to’plamdan iborat; A va В to'plamlar o'zaro kesishmasi 0 to’plamdan iborat emas. Agarda A va B to'plamlar kesishmasa, u holda AUB to'plami "m+n" ta elementga ega bo'ladi. Misol: 1) A= {a,b,c,d} B={e,f,k} AUB= {a,b,c,d,e,f,k} n(A)=4 , n(B)=3 , A^B=0 , n(AUB)=7 A={oq, ko'k, qora} B={qizil, sariq} n(A)=3 , n(B)=2 , AnB=0 , n(AUB) =5 A=4 ta olma B=6 ta anor, hamma meva nechta ? n(A)=4 , n(B)=6 , A^B=0 , n(AUB)=10 shu qoidaga asoslanib boshlang'ich sinflarda masala va misollar tushuntiriladi. Agar A va В to'plamlar kesishsa, (A ^B ^ 0) u holda to'plamlar birlashmasidagi elementlar soni har bir to'plam elementlar soni yig'indisi bilan , shu to'plamlar kesishmasidagi elementlar sonining ayirmasiga teng: n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A n B) Misol: 1) A={a,b,c,d,e} B={d,e,f,g} to'plamlar berilgan bo'lsin . Bunda: n(A)=5 , n(B)=4 Bu to'plamlar birlashmasini tuzsak: AUB={a,b,c,d,e,f,g} yoki n(AUB)=7 n(An B )=2 Demak ,(5+4)-2=7 Ingliz va nemis tillarini o'rganayotgan 100 o'quvchidan ingliz tilini 85 ta , nemis tilini 45 ta o'quvchi o'rganadi. Qancha o'quvchi ikkala tilni ham o'rganadi? n(A)=85 talaba ingliz tilini o'rganuvchi n(B) = 45 talaba nemis tilini o'rganuvchi n(AUB)=100 ta talaba n(AUB)= n(A)+n(B)- n(A n B ) 100= (85+45)-X X=(85+45)-100=30 ta Agar to'plam 3 ta bo'lsa , quyidagi yig'indi qoidasi o'rinli : n(AUBUC)= n(A) + n(B)+ n(C) - n(A n B)- n(A n C) - n(B n C) + n(A n B n C ) Misol: A={a,b,c,d,e,f,g} B={a,e,g,l,k,o} C={a,b,d,f,o} n(A)=7 , n(B)=6 , n(c)=5 , n(A n B)=3 n(A n C)=4 n(B n C)=2 n(A n B n C )=1 n(AUBUC)=7+6+5-2-3-4+1=10
Kombinatorikaning ikkinchi qoidasi, berilgan chekli to'plamlar elementlaridan tuzilgan kortejlar sonini topishdan iborat . Shunday masalani qaraylik. A={ai, a2 ,...,am }va B= {bi, b2, ...,bn} to'plamlaridan nechta (ak;bi) ko'rinishdagi juftlik elementlarini tuzish mumkin? Bu elementlarni jadval ko'rinishida yozamiz: (a1 b1), (a1 b2), (a1 Ьз) ,...,(a1 bn) (a2 b1), (a2 b2), (a2 Ьз),. .. ,(a2 bn) (a3 b1), (a3 b2), (a3 Ьз),. .. ,(a3 bn) (am b1), (am b2), (am ЬзХ - • • ,(am bn) bu erdan shu narsa ko'rinadiki , bu juftliklar m ta qator , har bir qator n ta elementdan iborat bo'ladi. Demak, umumiy juftliklar sonini mn ga teng . Shunday qilib , m- tartibli A to'plam , n - tartibli B to'plam elementlaridan mn ta tartiblangan juftlikni tuzish mumkin. Bunday tartiblangan juftliklar to'plamini A va B to'plamlar dekart ko'paytmasi deb aytgan edik. Shuning uchun quyidagi yozuv o'rinli: n(AxB)=n(A)xn(B) (1) Ko'paytma qoidasining umumiy holi : n(A1 xA2xA3x xAn)=n(A1 )xn(A2)x xn(An) (2) ni ham isbotlash mumkin. Kombinatorikada (1) ni quyidagicha ta'riflash mumkin: Agar a elementni m usulda, b elementni n usulda tanlash mumkin bo'lsa, u holda (a;b) tartiblangan juftlikni mn usulda tanlash mumkin. Masala: A qishloqdan B qishloqqa 3 ta yo'l olib boradi. B qishloqdan C qishloqqa esa 2 ta yo'l olib boradi.A qishloqdan B qishloqni bosib o'tib C ga necha usulda borish mumkin? Yechish: A va B orasidagi yo'lni 1,2,3 sonlari bilan belgilaymiz. B va C qishloqlar orasidagi yo'lni a,b deb belgilaymiz.
Download 135.44 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|
