Mavzu: Vektirlarning chiziqli bog`liqligi va chiziqli erkinligi

Uch fazo vektori uchun quyidagi bayonotlar ekvivalentdir:
1) vektorlar chiziqli mustaqil;
2) vektorlar asosni tashkil qiladi;
3) vektorlar koplanar emas;
4) vektorlarni bir-biri orqali chiziqli ifodalash mumkin emas;
5) bu vektorlarning koordinatalaridan tuzilgan determinant noldan farq qiladi.
Qarama-qarshi bayonotlar, menimcha, tushunarli.
Kosmik vektorlarning chiziqli bog'liqligi / mustaqilligi an'anaviy ravishda determinant yordamida tekshiriladi (5-band). Qolgan amaliy vazifalar aniq algebraik xususiyatga ega bo'ladi. Geometrik tayoqni mixga osib, chiziqli algebra beysbol tayoqchasini qo'llash vaqti keldi:
Uch kosmik vektor Agar berilgan vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinant nolga teng bo'lsa, ular koplanar hisoblanadi:

.
Men sizning e'tiboringizni kichik texnik nuancega qarataman: vektorlarning koordinatalarini nafaqat ustunlar, balki satrlarda ham yozish mumkin (determinantning qiymati bundan o'zgarmaydi - determinantlarning xususiyatlariga qarang). Ammo ustunlarda bu ancha yaxshi, chunki u ba'zi amaliy muammolarni hal qilish uchun foydaliroqdir.
Determinantlarni hisoblash usullarini biroz unutgan yoki ular umuman yo'naltirilgan bo'lmagan o'quvchilar uchun men eng qadimgi darslarimdan birini tavsiya qilaman: Determinantni qanday hisoblash mumkin?
6-misol
Quyidagi vektorlar uch o'lchamli fazoning asosini tashkil qiladimi yoki yo'qligini tekshiring:
Yechim: Aslida, butun yechim determinantni hisoblashdan kelib chiqadi.
a) vektorlar koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblang (birinchi qatorda determinant kengaytiriladi):

, ya'ni vektorlar chiziqli mustaqil (komplanar emas) va uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladi.

Javob: bu vektorlar asosni tashkil qiladi
b) Bu mustaqil qaror qabul qilish nuqtasi. To'liq yechim va javob dars oxirida.
Bundan tashqari, ijodiy vazifalar mavjud:
7-misol
Parametrning qaysi qiymatida vektorlar koplanar bo'ladi?
Yechim: Agar berilgan vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinant nolga teng boʻlsagina vektorlar koplanar boʻladi:

Asosan, determinant bilan tenglamani yechish talab qilinadi. Biz uçurtmalar jerboasga o'xshab nolga uchamiz - ikkinchi qatorda determinantni ochish va darhol minuslardan xalos bo'lish eng foydalidir:

Biz qo'shimcha soddalashtirishlarni amalga oshiramiz va masalani eng oddiy holga keltiramiz chiziqli tenglama:

Javob: da
Bu erda tekshirish oson, buning uchun siz olingan qiymatni asl determinantga almashtirishingiz va ishonch hosil qilishingiz kerak

uni qayta ochish orqali.
Xulosa qilib aytganda, ko'proq algebraik xususiyatga ega bo'lgan va chiziqli algebra kursiga an'anaviy ravishda kiritilgan yana bir tipik masalani ko'rib chiqamiz. Bu shunchalik keng tarqalganki, u alohida mavzuga loyiqdir: