Mavzu: Vektirlarning chiziqli bog`liqligi va chiziqli erkinligi

3 TA VEKTOR UCH O‘LCHAMLI FAZONING ASOSINI TASHKIL ETISHINI ISBOTLANG
VA BERILGAN ASOSDAGI 4-VEKTORNING KOORDINATALARINI TOPING
8-misol
Vektorlar berilgan. Vektorlar uch o'lchamli fazoning asosini tashkil etishini ko'rsating va shu asosda vektorning koordinatalarini toping.
Yechim: Avval shart bilan shug'ullanamiz. Shartga ko'ra, to'rtta vektor berilgan va siz ko'rib turganingizdek, ular allaqachon biron bir asosda koordinatalarga ega. Asos nima - bizni qiziqtirmaydi. Va quyidagi narsa qiziq: uchta vektor yangi asos bo'lishi mumkin. Va birinchi qadam 6-misolning yechimi bilan butunlay bir xil, vektorlarning haqiqatan ham chiziqli mustaqilligini tekshirish kerak:
Vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblang:

, shuning uchun vektorlar chiziqli mustaqil va uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladi.

! Muhim : vektor koordinatalari albatta yozib qo'ying ustunlarga satrlar emas, determinant. Aks holda, keyingi yechim algoritmida chalkashlik bo'ladi.
Ta'rif 18.2 Funktsional tizimf, ..., f pchaqirdili-nape o h a in va c va m. o d oraliqda(lekin, (3) agar ba'zi noaniq bo'lsa 5 Ushbu funktsiyalarning chiziqli birikmasi ushbu intervalda bir xil tarzda nolga teng:
Ta'rif 18.3 Vektor tizimi f 1 , ..., a va c va m o d da x n chiziqli deyiladi, agar bu vektorlarning ba'zi bir noaniq, chiziqli birikmasi o'q vektoriga teng bo'lsa:

L Chalkashmaslik uchun vektor komponentining sonini (vektor-funksiya) pastki indeks bilan va vektorning o'zi sonini (agar bir nechta shunday vektorlar bo'lsa) yuqori bilan belgilaymiz.
"Sizga eslatib o'tamizki, chiziqli kombinatsiya, agar undagi barcha koeffitsientlar nolga teng bo'lmasa, notrivial deb ataladi.
Ta'rif 18.4 x 1 ^),..., x n (t) vektor funksiyalar sistemasi chiziqli deyiladi h va in and with and my about th on the interval,(lekin, /3) agar bu vektor funksiyalarning ba'zi bir notrivial chiziqli birikmasi ushbu intervaldagi nol vektorga teng bo'lsa:
Bu uchta tushunchaning (funksiyalar, vektorlar va vektor funktsiyalarning chiziqli bog'liqligi) bir-biri bilan bog'liqligini tushunish muhimdir.
Avvalo, agar (18.6) formulani kengaytirilgan shaklda keltirsak (har birini esga olib x g (1) vektor)


u holda tenglik tizimiga teng bo'ladi
chiziqli bog‘liqlikni bildiradi z komponenti birinchi ta'rif ma'nosida (funksiyalar sifatida). Ular chiziqli munosabatlar deb aytishadi vektor funktsiyalari ularni o'ziga tortadi komponentdan komponenta chiziqli bog'liqlik.
Aksincha, umuman olganda, to'g'ri emas: bir juft vektor funksiyasi misolini ko'rib chiqish kifoya

Ushbu vektor funktsiyalarining birinchi komponentlari oddiygina mos keladi, ya'ni ular chiziqli bog'liqdir. Ikkinchi komponentlar proportsionaldir, shuning uchun. ham chiziqli bog'liqdir. Ammo, agar biz ularning chiziqli birikmasini bir xil tarzda nolga teng qurishga harakat qilsak, u holda munosabatdan

darhol tizimni oling

qaysi yagona yechim bor C - C-2 - 0. Shunday qilib, vektor funksiyalarimiz chiziqli mustaqildir.
Bunday g'alati mulkning sababi nima? Bilib bog'liq bo'lgan funktsiyalardan chiziqli mustaqil vektor funktsiyalarni qurishga imkon beradigan hiyla nima?
Ma'lum bo'lishicha, butun nuqta komponentlarning chiziqli bog'liqligida emas, balki nolga erishish uchun zarur bo'lgan koeffitsientlar nisbatida. Vektor funktsiyalarining chiziqli bog'liqligi holatida bir xil koeffitsientlar to'plami sonidan qat'i nazar, barcha komponentlarga xizmat qiladi. Ammo bizning misolimizda, bitta komponent uchun koeffitsientlarning bir nisbati, boshqasi uchun esa boshqasi kerak edi. Demak, hiyla juda oddiy: butun vektor funktsiyalarining chiziqli bog'liqligini "komponent bo'yicha" chiziqli bog'liqlikdan olish uchun barcha komponentlar "bir xil nisbatda" chiziqli bog'liq bo'lishi kerak.
Endi vektor funksiyalar va vektorlarning chiziqli bog‘liqligi o‘rtasidagi bog‘liqlikni o‘rganishga to‘xtalamiz. Bu erda vektor funktsiyalarining chiziqli bog'liqligi har bir sobit uchun shuni anglatadiki, deyarli aniq t* vektor

chiziqli bog'liq bo'ladi.
Umuman olganda, aksincha: har biri uchun vektorlarning chiziqli bog'liqligidan t vektor funksiyalarning chiziqli bog'liqligiga amal qilmaydi. Buni ikkita vektor funksiyasi misolida ko'rish oson

Da t=1, t=2 va t=3 vektor juftlarini olamiz
mos ravishda. Har bir vektor juftligi proportsionaldir (mos ravishda 1,2 va 3 koeffitsientlari bilan). Har qanday sobit uchun buni ko'rish oson t* vektorlarimiz juftligi koeffitsient bilan mutanosib bo'ladi t*.
Agar biz nolga teng bo'lgan vektor funktsiyalarining chiziqli birikmasini qurishga harakat qilsak, birinchi komponentlar bizga allaqachon munosabatni beradi.

bu faqat agar mumkin bo'lsa FROM = FROM2 = 0. Shunday qilib, vektor funksiyalarimiz chiziqli mustaqil bo'lib chiqdi. Shunga qaramay, bu ta'sirning tushuntirishi shundaki, vektor funktsiyalarning chiziqli bog'liqligida bir xil Cj doimiylar to'plami barcha qiymatlarga xizmat qiladi. t, va har bir qiymat uchun bizning misolimizda t koeffitsientlar orasidagi o'z nisbatini talab qildi.