Mavzu: Vektirlarning chiziqli bog`liqligi va chiziqli erkinligi

Isbot: x= (e 1, …, e n) va y= (e 1, …, e n)
x+y= + = (e 1, …, e n)
lx= l ) = (e 1, …, e n)
Lemma 1: (vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi uchun zarur va etarli shart)
E 1 …en V fazoning asosi bo‘lsin. f 1 , …, fk ∈ V elementlar tizimi, agar bu elementlarning koordinata ustunlari e 1, …, en asosidagi koordinata ustunlari bo‘lsagina chiziqli bog‘liq bo‘ladi. chiziqli bog'liq
Isbot: e 1, …, e n asosda f 1 , …, f k ni kengaytiring
f m =(e 1, …, e n) m=1, …, k
l 1 f 1 +…+l k f k =(e 1, …, e n)[ l 1 +…+ l n ] ya’ni l 1 f 1 +…+l k f k = L ⇔
⇔ l 1 +…+ l n = kerak bo'lganda.
13. Chiziqli fazoning o'lchami. O'lchov va asos o'rtasidagi bog'liqlik haqidagi teorema.
Ta'rifi: Chiziqli fazo V da n ta chiziqli mustaqil element boʻlsa va V fazoning istalgan n+1 elementidan iborat sistema chiziqli bogʻliq boʻlsa, V chiziqli fazo n oʻlchovli fazo deyiladi. Bunda n chiziqli fazoning V o‘lchami deyiladi va dimV=n deb belgilanadi.
Agar ∀N ∈ ℕ V fazoda N ta elementdan iborat chiziqli mustaqil sistema mavjud bo'lsa, chiziqli fazo cheksiz o'lchovli deyiladi.
Teorema: 1) Agar V n o lchamli chiziqli fazo bo lsa, u holda bu fazoning n ta chiziqli mustaqil elementidan iborat har qanday tartiblangan sistema asos bo ladi. 2) Agar V chiziqli fazoda n ta elementdan iborat bazis mavjud bo'lsa, u holda V ning o'lchami n ga teng (dimV=n).
Isbot: 1) V ∃ n chiziqli mustaqil element e 1, …,e n da dimV=n ⇒ bo‘lsin. Bu elementlar asos tashkil etishini isbotlaymiz, ya’ni ∀ x ∈ V ni e 1, …,e n ko’rinishida kengaytirish mumkinligini isbotlaymiz. Ularga x qo‘shamiz: e 1, …,e n , x – bu sistema n+1 vektorni o‘z ichiga oladi, ya’ni u chiziqli bog‘liqdir. Chunki e 1, …,e n chiziqli mustaqil, u holda 2-teorema bo‘yicha x e 1, …,e n orqali chiziqli ifodalangan ya’ni. ∃ ,…, shundayki, x= a 1 e 1 +…+ a n e n. Demak, e 1, …,e n – V fazoning asosi. 2) e 1, …,e n V ning asosi bo‘lsin, demak, V ∃ n da n ta chiziqli mustaqil element mavjud. Ixtiyoriy f 1 ,…,f n ,f n +1 ∈ V – n+1 elementlarni oling. Keling, ularning chiziqli bog'liqligini ko'rsatamiz. Keling, ularni quyidagilar bo'yicha ajratamiz:
f m =(e 1, …,e n) = bu yerda m = 1,…,n Koordinata ustunlari matritsasini tuzamiz: A= Matritsada n ta satr mavjud ⇒ RgA≤n. Ustunlar soni n+1 > n ≥ RgA ⇒ A matritsa ustunlari (ya’ni f 1 ,…,f n ,f n +1 koordinatalari ustunlari) chiziqli bog‘liqdir. Lemmadan 1 ⇒ ,…,f n ,f n +1 chiziqli bog'liq ⇒ dimV=n.