Mavzu: yuqori tartibli momentlar va ular uchun asosiy tengsizliklar

 
(3.16) tengsizlikda 
deb va uning har ikkala tomonidan 
matematik kutilma olsak, (3.13) tengsizlik kelib chiqadi. 
Lyapunov tengsizligi. Ixtiyoriy musbat 
sonlar uchun
tengsizlik o‘rinli.
Bu tengsizlikni isbotlash uchun
botiq funksiya va 
tasodifiy 
miqdorlarga Yensen tengsizligini qo‘llash kifoya. 
Gyolder tengsizligi. 
sonlar va 
tasodifiy 
miqdorlar uchun 
munosabatlar o‘rinli bo‘lsin. U holda
Isbot. 
funksiya 
intervalda aniqlangan botiq 
funksiya bo‘lganligi tufayli (3.13) tengsizlik o‘rinli, ya’ni ixtiyoriy 
va 
istalgan 
sonlar uchun
tengsizlik o‘rinli. Endi 
deb olsak, u 
holda 
tengsizlik 
o‘rinli 
ekanligi 
kelib 
chiqadi. 
Bu 
tengsizlikda 
deb (biz 
) faraz qilamiz, 
aks holda (3.17) tengsizlik trivial bajariladi, hosil bo‘lgan tengsizlikning har ikki 
tomonidan matematik kutilma olsak, biz Gyolder tengsizligiga kelamiz. 
 
 

---

Chebishev tengsizligi
 
tasodifiy miqdor va 
esa 
hodisaning indikatori bo‘lsin. 
funksiya esa Xevisayd funksiyasi deyiladi. 
-manfiy bo‘lmagan tasodifiy miqdor va 
–ixtiyoriy musbat son bo‘lsin. 
Ushbu bevosita tekshiriladigan
Tengsizlikning har ikkala tomonidan matematik kutilma olib (3-teoremaning 
2-punkitiga ko‘ra bunday qilish mumkin), ushbu 
(3.18)
Markov nomi bilan ataluvchi sodda, lekin juda ham foydali tengsizlikni hosil qilamiz. 
Agar 
musbat va chekli matematik kutilmaga ega bo‘lsa, bu tengsizlikdan
tasodifiy miqdorning berilgan 
qiymatdan katta bo‘lish ehtimolining yuqori 
chegarasi kelib chiqadi. Shu bilan birga 
qancha kichik bo‘lsa, bu chegara ham 
shuncha kichik bo‘ladi. Agar 
bo‘lsa, (3.18) aniq tengsizlik bo‘ladi, ya’ni 
shunday 
tasodifiy miqdor mavjudki, uning uchun
oldindan aniqlangan 
(berilgan) qiymatga ega va (3.18) munosabatda tenglikka erishish mumkin. Masalan, 
agar 
tasodifiy miqdor 0 va 
qiymatlarni, mos ravishda 
va 
ehtimollar bilan qabul qilsa, bunday tenglik o‘rinli. 
Endi musbat bo‘lishi shart bo‘lmagan, ammo 
va 
matematik 
kutilmalarning qiymatlari chekli bo‘lgan tasodifiy miqdorni olaylik. Yuqoridagi 
kabi 
Tengsizlikni har ikkala tomonidan matematik kutilma olib 
(3.19) 
Munosabatni hosil qilamiz (bu yerda m- ixtiyoriy haqiqiy son ), ya’ni biz 
tasodifiy 
miqdorning m dan berilgan a qiymatga chetlanish ehtimoli uchun 
va 
matematik kutilmalar orqali ifodalangan yuqori chegarasini hosil qildik. 
kvadratning matematik kutilmasi 
bo‘yicha 
o‘zining eng kichik qiymatiga 
bo‘lganida erishadi. 
(3.19) tengsizlikda 
deb olsak, biz Chebishev tengsizligini hosil 
qilamiz: 

---

Bu matematik kutilmadan qiymatga chetlanish ehtimolini tasodifiy miqdorning 
dispersiyasi bilan bog‘laydigan juda muhim tengsizlik. 
Agar 
tasodifiy miqdor nolga teng dispersiyaga ega bo‘lsa, ya’ni
bo‘lsa, u holda 
o‘rta kvadratik ma’noda 
qiymatga teng 
deymiz va 
deb yozamiz. Agar 
bo‘lsa, Chebishev 
tengsizligidan ixtiyoriy kichik musbat son 
uchun 
tenglik 
o‘rinli yoki 1 ehtimol bilan 
ekanligi kelib chiqadi. 
 
8-teorema. 
tasodifiy 
miqdorning 
qiymatlar 
sohasida 
kamaymaydigan funksiya bo‘lib, 
matematik kutilma mavjud bo‘lsin. U holda 
har qanday 
uchun 
Tengsizlik o‘rinli. 
Bu teorema ham (3.18) va (3.19) tengsizliklar kabi 
Ifodaning har ikkala tomonidan matematik kutilma olib isbotlanadi. 
 
2-natija. ixtiyoriy natural son va 
bo‘lsa, u holda har qanday 
musbat haqiqiy son uchun 
Tengsizlik o‘rinli. 
Bu tengsizlikka k-tartibli momentlar uchun Chebishev tengsizligi deyiladi.