Метод математической индукции

2.2-masala. Ixtiyoriy n natural son uchun natural qatorning dastlabki n ta son kvadratlar yig‘indisi ga tengligini isbotlash lozim.
Isboti. Quyidagi tenglikni isbotlash kerak:
. (2.2)
1-qadam. n=1 da (2.2) tenglikning bajarilishini tekshiramiz:
(2.2) tenglikning chap tomoni quyidagiga teng: ;
(2.2) tenglikning o‘ng tomoni quyidagiga teng: .
(2.2) tenglikning o‘ng va chap tomoni teng bo‘lgani uchun 1-qadam isbotlandi deb hisoblaymiz.


2-qadam. (2.2) tenglik uchun n = k da quyidagi berilgan deb faraz qilaylik:
.
Bu tenglik n=k+1 uchun bajarilishini isbotlash lozim
.
Haqiqatdan:

. 2-qadam isbotlandi.
1- va 2- qadamlardan (2.2) tenglik ixtiyoriy n natural son uchun bajariladi.
2.3-masala. Natural toq sonlarkvadratlarining yig‘indisi ixtiyoriy n natural son uchun ga tengligini isbotlang.
Isboti.
(2.3)
tenglikni isbotlash lozim.
1-qadam. n=1 da (2.3) tenglikning bajarilishini tekshiramiz:
(2.3) tenglikning chap tomoni quyidagiga teng: ;
(2.3) tenglikning o‘ng qismi quyidagiga ega: .
(2.3) tenglikning o‘ng va chap tomonlari teng, shuning uchun 1-qadam isbotlandi.
2-qadam. (2.3) tenglik n=k da bajariladi:
.
Ushbu tenglik n=k+1 da bajarilishini isbotlash lozim:
.
Haqiqatdan:

. 2-qadam isbotlandi. Demak, (2.3) tenglikning ixtiyoriy n natural son uchun bajarilishi kelib chiqadi.
2.4-masala. Natural sonlar qatorining dastlabki n ta beshinchi darajalari yi’g‘indisi ga tengligini isbotlang.
Isboti.
. (2.4)
tenglikni isbotlash lozim.
1-qadam. (2.4) tenglikning n = 1 bajarilishini tekshiramiz :
(2.4) tenglikning chap tomoni: ;
(2.4) tenglikning o‘ng tomoni : .
(2.4) tenglikning o‘ng va chap tomoni teng, shuning uchun 1-qadam isbotlandi.
2-qadam. Faraz qilaylik, (2.4) tenglik n=k da bajariladi:
.
n = k +1 da (2.4) tenglikni isbotlash lozim:

Haqiqatdan:

to‘rtinchi darajali ko‘phadni
ikkinchi darajali ko‘phadga ajratamiz






0


.
2-qadam isbotlandi.

1- va 2- qadamlardan (2.4) tenglikning ixtiyoriy n natural son uchun bajarilishi ma’lum bo‘ladi.