Метод математической индукции

2.5-masala. Tenglikning ixtiyoriy n natural son uchun quyidagi tenglik o‘rinli ekanligi isbotlansin:
. (2.5)
Yechilishi. orqali belgilaymiz.
1-qadam. n = 1 da ga teng. n = 1 ni (2.5) tenglikning o‘ng tomoniga qo‘yamiz: . Natijada n = 1 da (2.5) tenglikning o‘ng va chap tomoni teng ekanligini hosil qilamiz. 1-qadam isbotlandi.
2-qadam. n=k da (2.5) tenglik bajariladi deb faraz qilaylik:
.
.
Tenglik to‘g‘riligini isbotlash lozim. Haqiqatdan:


.
2-qadam isbotlandi. 1- va 2- qadamlardan (2.5) tenglikning ixtiyoriy n natural son uchun bajarilishi kelib chiqadi.
2.6-masala. Quyidagi tenglikni isbotlang:
. (2.6)
Yechilishi. belgilash kiritamiz.
1-qadam. n = 1 da ga ega bo‘lamiz. (2.6) tenglikning o‘ng qismiga n = 1 ni qo‘yib: ni hosil qilamiz.
Demak, n = 1 da (2.6) tenglikning o‘ng va chap qismi teng bo‘lganligidan 1-qadam isbotlandi.
2-qadam. (2.6) tenglik n = k da to‘g‘ri deb faraz qilaylik:
.
Quyidagi tenglikning to‘g‘riligini isbotlash lozim
.
Haqiqatdan ham:


.
2-qadam isbotlandi.
1- va 2- qadamlardan (2.6) tenglikning ixtiyoriy n natural son uchun bajarilishi kelib chiqadi.
2.7-masala. Tenglikning isbotlang
. (2.7)
Yechilishi. orqali belgilaymiz.
1-qadam. n = 1 da : ega bo‘lamiz. n = 1 ni (2.7) tenglikning o‘ng qismiga qo‘yamiz: . n = 1 da (2.7) tenglikning o‘ng va chap qismlari 1 ga teng. 1-qadam isbotlandi.
2-qadam. (2.7) tenglik n= k da bajariladi deb faraz qilaylik:
. Quyidagi tenglikning o‘rinli ekanligini isbotlash lozim: .
Haqiqatdan: . 2-qadam isbotlandi. 1- va 2- qadamlardan (2.7) tenglikning ixtiyoriy n natural son uchun bajarilishi kelib chiqadi.