Метод математической индукции

1-qadam. n = 1 da quyidagiga ega bo‘lamiz:
(5.1) ning chap tomoni: ; (5.1) ning o‘ng tomoni: .
1-qadam isbotlandi.
2-qadam. n = k da (5.1) formula o‘rinli ekanligi berilgan bo‘lsin.
n = k + 1 da tenglikning o‘rinli ekanligini tekshiramiz.
n = k + 1 da (5.1) formula to‘g‘ri deb faraz qilamiz. U holda quyidagiga ega bo‘lamiz:




k³ + 4 k² + 8 k + 3 k² + 3 k + 2
k³ + 3 k² + 2 k k + 1
k² + 6 k + 3
k² + 3 k + 2
3 k + 1
,
Natijada qarama-qarshilik hosil bo‘ladi. Bu qarama-qarshilik (5.1) formulaning o‘rinli emasligini ko‘rsatadi.
Tog‘ri gipotezani aytishga harakat qilamiz. Buning uchun bir nechta ni hisoblaymiz, bunda
n = 1, 2, 3, ..., larda:
;
;
.
Ushbu tengliklarni diqqat bilan ko‘rib, ixtiyoriy natural n uchun tenglikdagi gipotezani aytish mumkin. Matematik induksiya metodi bilan ushbu gipotazani tekshiramiz, ya’ni quyidagi tenglikni tekshiramiz:


. (5.1.1)
1-qadam. n = 1 da quyidagiga ega bo‘lamiz:
(5.1.1) tenglikning chap qismi: ga teng;
(5.1.1) tenlikning o‘ng qismi: ga teng. 1-qadam isbotlandi.
2-qadam. Agar (5.1.1) tenglik n = k da to‘g‘ri bo‘lsin. U holda n = k + 1 da ham to‘g‘ri bo‘ladi. Haqiqatdan:
.

1- va 2-qadamlardan (5.1.1) tenglik o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.

5.2-masala. Quyidagi yig‘indini hisoblanging:
.
n = 1, 2, 3 da ning qiymatlarini topamiz:
da ;
da ;
da .
Quyidagi gipotezani aytamiz. uchun quyidagi tenglik to‘g‘ri:
. (5.2)
Ushbu gipotezani matematik induksiya metodi bilan tekshiramiz.