Метод математической индукции

5.5-masala. yig‘indini toping.
Yechilishi. n = 1, 2, 3 da yig‘indini topamiz:
;
;
.
Quyidagi gipotezani isbotlaymiz:
. (5.5)
Matematik induksiya metodi bilan formulani isbotlaymiz.
1-qadam. n=1 qiymatda hisoblanganda isbotlandi.
2-qadam. n = k da (5.5) tenglikning bajarilishi berilgan. n=k+1 da tenglikning bajarilishini isbotlaymiz: .
Isboti.

.
Bu yerda _.
. Oxirgi tenglik quyidagidan kelib chiqadi:
2 k ³ + 6 k ² + 5 k + 2 2 k ² + 2 k + 1
2 k ³ + 2 k ² + k k + 2
4 k ² + 4 k + 2
4 k ² + 4 k + 2
0
2-qadam isbotlandi. Matematik induksiya prinsipiga ko‘ra (5.5) tenglikning ixtiyoriy n natural sonda bajarilishi kelib chiqadi.
5.6-masala. n natural sonning qaysi qiymatlarida quyidagi tengsizliklar bajariladi:
; (5.6.1)
; (5.6.2)
? (5.6.3)
(5.6.1) tengsizlikni n ning quyidagi qiymatlarida bajarilishini tekshiramiz:
n = 1 da: ; n =2 da: ; n = 3 da: ;
n =4 da: ; n = 5 da: .

Hosil qilingan yuqoridagi tengsizlikdan (5.6.1) tengsizlik n = 1 da bajarilishi kelib chiqadi. Lekin bu tengsizlik n = 2, 3, 4 bajarilmaydi. n = 5 dan boshlab yana bajariladi.

(5.6.1) tengsizlik ixtiyoriy da bajariladi deb faraz qilamiz. Ushbu farazni matematik induksiya metodi bilan isbotlaymiz.