Метод математической индукции

§7. Nyuton binomi formulasi.

7.1-masala. Nyuton binomi formulasini isbotlang
(7.1)
bu yerda .
1-qadam. n = 1 da (7.1) tenglikning chap qismi ga teng;
Ushbu tenglikning o‘ng qismi:
2-qadam. n=k da (7.1) tenglikning o‘rinli ekanligi berilgan
.
n = k+1 da tenglikning o‘rinli ekanligini isbotlaymiz:
.
Haqiqatdan:

Ikkinchi qo‘shiluvchida yig‘indini m = 1 da boshlaymiz
Ikkinchi qo‘shiluvchida m ning o‘rniga m-1 olinadi.


B irinchi yig‘indida birinchi qo‘shiluvchini,
ikkinchi yig‘indida – oxirgi qo‘shiluvchini alohida yozamiz.
Ikkala yig‘indi m = 1 dan m = k gacha yi’giladi.
a, b sonlarning darajalari yig‘indisi ushbu belgilar bilan mos tushadi.

.


.
.
2-qadam isbotlandi. 1- va 2- qadamlardan (7.1) tenglikning ixtiyoriy n uchun o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
7.2-qadam. Leybnis formulasi. Faraz qilaylik, funksiyalar E to‘plamda uzliksiz n-tartibli hosilaga ega bo‘lsin. U holda ushbu funksiyalarning n-tartibli hosilalari uchun Leybnis formulasi o‘rinlidir:
. (7.2)
Isboti. belgilashlarni kiritamiz.
1-qadam. n = 1 da (7.2) tenglikning chap qismi:
ga teng;
Ushbu tenglikning o‘ng qismi:
ga teng.
2-qadam. n = k da (7.2) tenglik o‘rinli ekanligi berilgan:
.
n = k+1 da tenglikning o‘rinli ekanligini isbotlaymiz:
.
Haqiqatdan:
C hiziqli kombinatsiya hosilasi hosilalarning chiziqli kombinatsiyasiga teng
Differentsiyalash qoydasiga ko‘ra,ikkita funktsiyaning ko‘paytmasiga ega:

B irinchi yig‘indida birinchi qo‘shiluvchini alohida yozamiz,
ikkinchi yig‘indida – oxirgi qo‘shiluvchini.


Ikkinchi qo‘shiluvchida yig‘indi m = 1 dan boshlanadi.
Bunday holda m ning o‘rniga m–1 ni olamiz ya’ni quyidagiga ega bo‘lamiz:
.

(7.1) masaladagiga o‘xshash bajariladi:
; .
.
2-qadam isbotlandi. 1- va 2- qadamlardan (7.2) tenglikning ixtiyoriy n uchun o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.