Методические рекомендации по обработке результатов расчетов и измерений при решении задач и выполнении лабораторных работ по физике

Систематические погрешности – это погрешности, величина которых, как правило, одинакова при всех повторных измерениях одной и той же физической величины, проводимых при неизменных условиях. Знак этих погрешностей тоже одинаков. То есть, результаты измерения оказываются или завышенными или заниженными. Систематические погрешности вызываются неправильным выбором метода измерений, неправильной установкой измерительного прибора, неправильной градуировкой измерительного прибора и другими факторами.
Выявить систематические погрешности при использовании одного и того же метода измерения и при наличии одного измерительного прибора невозможно. Для их обнаружения нужно провести независимые измерения. Однако все эти погрешности, в принципе, можно учесть путем проведения специальных измерений. Устранение систематических погрешностей требует глубокого анализа физического процесса, лежащего в основе измерения, и хорошего знания конструкции измерительного прибора.
Если величина и знак систематической погрешности известны, ее исключают из результата i – го измерения. Если величина и знак систематической погрешности неизвестны, ее влияние на результат измерения оценивают статистически.
Случайные погрешности – это погрешности, принимающие при повторных измерениях одной и той же физической величины в одних и тех же условиях различные значения, как по величине, так и по знаку. Эти погрешности вызываются большим числом причин, возникающих во время самого процесса измерения. Действие этих причин на результат каждого измерения различно. Это действие нельзя исключить. Однако математическая теория погрешностей показывает, что можно уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат измерений, если много раз повторить измерения в одних и тех же условиях.
Промахи – это погрешности измерения, существенно превышающие погрешности, ожидаемые при данных условиях [1]. Промахи возникают из-за неисправности измерительного прибора или небрежности экспериментатора. Грубые, заведомо недостоверные результаты следует сразу же исключить из серии результатов измерений. Если нет уверенности в том, является ли некоторый результат промахом, следует применить к нему статистический критерий [4].

ОЦЕНКА СЛУЧАЙНОЙ ПОГРЕШНОСТИ

Будем считать, что систематические погрешности выявлены и устранены из полученных результатов всех n отдельных измерений некоторой физической величины. Эти n результатов измерений одной и той же физической величины в одних и тех же условиях называют серией измерений. Сами отдельные результаты измерения некоторой физической величины x являются случайными. Величины абсолютных погрешностей также являются случайными. До проведения измерений можно говорить лишь о возможных значениях измеряемой величины, о возможных значениях погрешностей результата измерения, о вероятности получения того или иного численного значения случайной величины x_i в процессе измерения.
Вероятность появления случайной величины x_i в интервале

обозначим как
.
За вероятность принимают относительную частоту появления значений в указанном интервале, то есть отношение числа возможных значений , попадающих в этот интервал, к числу всех возможных значений . Функция

называется плотностью распределения вероятностей появления x_i.
Для определения вида зависимости на основе результатов измерений (i = 1, 2, ..., n, n 25) строят ступенчатый график – гистограмму. Промежуток между наибольшим значением (верхним) и наименьшим значением (нижним) разбивают на некоторое число m (5 m 15) равных интервалов с номером j (j = 1, 2, …, m). Таким образом, ширина каждого интервала будет равна . По вертикальной оси откладывают относительную частоту появления значений в каждом из j – х интервалов.
На рис. 2 изображена полученная в результате построения гистограмма для = 9. Как видно из рисунка, большинство результатов измерений группируются посередине отрезка . По мере удаления от середины этого отрезка, число результатов измерений резко уменьшается. Это означает, что все результаты измерения группируются около некоторого среднего значения.



m = 9









Рис. 2

Сглаживание ступенчатого графика приводит к получению кривой зависимости . Согласно (4), полная вероятность попадания случайной величины в интервал будет до проведения измерений равна

Если появление ошибок измерения обязано только игре случая, то эта зависимость имеет вид нормального распределения [2]:

Величина называется дисперсией нормального распределения. Величина называется стандартным отклонением и играет роль масштаба измерения . Большие отклонения от истинного значения искомой величины с ростом значения встречаются чаще.
На рис. 3 представлены графики нормального распределения величины при двух различных значениях = 1 и = 2.
Площадь под каждой из кривых нормального распределения равна 1, то есть

Это легко проверить, вспомнив известный интеграл

В нашем случае .


= 1
= 2


– 2 – 1 0 1 2
Рис. 3

Каждая кривая имеет две точки перегиба при = . Как видно из рисунка, разброс значений гораздо больший при = 2, чем при = 1.

Нормальное распределение содержит два неизвестных параметра: искомое истинное значение a измеряемой величины и стандартное отклонение . Эти параметры не могут быть определены непосредственно из результатов измерений. Однако математическая теория погрешностей показывает, как на основе этих результатов можно получить наиболее достоверное значение искомой величины x и оценить погрешность полученного значения.
Среднее значение результатов отдельных измерений

оказывается гораздо ближе к искомой величине a, чем результат отдельного измерения . Покажем это. Из (3) и (7) следует:

откуда

В последнюю сумму входят слагаемые с разными знаками, причем в среднем одинаково часто. Поэтому эта сумма много меньше модуля истинной абсолютной погрешности измерения , и значит

Среднее значение случайных величин само является случайной величиной. При повторении серий из n наблюдений каждый раз мы будем получать разные значения , предсказать которые невозможно. Однако разброс отдельных значений от искомого значения a будет в раз меньше, чем разброс отдельных значений . Нормальное распределение для средних значений имеет стандартное отклонение, также в раз меньшее, чем нормальное распределение для отдельных значений .
Вместо истинных абсолютных погрешностей (3) на практике рассматривают измеряемые абсолютные погрешности
, (8)
а вместо стандартного отклонения используют среднее квадратичное отклонение отдельного результата измерения

и среднее квадратичное отклонение среднего значения серии наблюдений

Эту величину также называют средней квадратичной погрешностью измерения величины x и иногда обозначают буквой .
Английский ученый У. Госсет, подписывающий свои математические статьи псевдонимом «Стьюдент», показал, что вместо распределения случайной величины можно рассматривать распределение другой случайной величины

На рис. 4 показано построенное распределение вероятностей появления различных значений t при заданном значении n = 5. Вероятность того, что случайная величина t примет значения, лежащие в интервале
, (12)
обозначим буквой . Эта вероятность равна заштрихованной площади под кривой распределения на рис. 4:

Из неравенства (12) получаем

далее







n = 5




– 2 – 1 0 1 2 t
–
Рис. 4

Теперь, введя обозначение

получим

или
(15)
Вероятность (13) называется доверительной вероятностью или надежностью. Интервал называется доверительным интервалом для доверительной вероятности . Эта вероятность определяет степень доверия к утверждению о том, что истинное значение a измеряемой физической величины x заключено между границами доверительного интервала.
Величина называется абсолютной погрешностью результата серии прямых измерений физической величины x или полушириной доверительного интервала. Как видно из (14), значение абсолютной погрешности связано с принятой доверительной вероятностью.
Величина называется коэффициентом Стьюдента. Его численные значения рассчитаны для различных доверительных вероятностей и для различных чисел n результатов измерений и представлены в [3].
С ростом доверительной вероятности, то есть надежности значения абсолютной погрешности, коэффициент Стьюдента увеличивается. А с ростом числа измерений, увеличивающим надежность самих результатов измерения, коэффициент Стьюдента уменьшается.
Результат, записанный в виде (15), называется результатом измерений. Этот результат всегда должен содержать наиболее достоверный результат расчета среднего значения и границы доверительного интервала при заданной вероятности. В технических измерениях обычно принимается = 0,95.
Ниже приведены значения коэффициента Стьюдента для доверительной вероятности α = 0,95.

n	2	3	4	5	6