Методические указания и примерные задания для выполнения самостоятельных работ 1-тема. Определённый интеграл,свойства. Площадькриволинейной трапеции

Пример. Вычислить интеграл используя определение . Решение. Разделим отрезок [0;1] на n равных частей, тогда длина каждого отрека равна и для каждого выберем соответствующую точку. В этом случае:
Итак,


Свойства определённого интеграла
2.
3. 4.
5. Если то, в промежутке если ,

Вчастности,впромежутке ,если то,

Теорема. (Достаточное условие существования определённого интеграла). Если функция в промежутке непрерывна, то функция интегрируема в этом промежутке.
Теорема. Если функция интегрируема в промежутке то, она ограничена в этом промежутке.
Теорема. (теорема о среднем значении). Если функция интегрируема в промежутке то, в этом промежутке справедливо неравенство т.е.,существует такое число , что для него выполняется неравенство , и
Пусть функция интегрируема на промежутке , тогда для любого функция будет интегрируема также и в промежутке . Поэтому в этом промежутке рассмотрим данную функцию:
Tеоrеmа. В промежутке интегрируемая функциядля функции будет непрерывной в промежутке .
Формула Ньютона-Лейбница
Теорема: Любая непрерывная на интервале функция имеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразных является функция:
, где - любая фиксированная точка интервала .
Так как две первообразные данной функции отличаются на постоянную, то согласно теореме, любая первообразная непрерывной на сегменте функции имеет вид:

где - некоторая постоянная.
Полагая в последней формуле сначала , затем , и используя первое свойство определенного интеграла, получим:
, .
Из этих равенств вытекает соотношение:

которое называется, основной формулой интегрального исчисления или формулой Ньютона – Лейбница.