Методические указания и примерные задания для выполнения самостоятельных работ 1-тема. Определённый интеграл,свойства. Площадькриволинейной трапеции

Несобственные интегралы
Определение. Несобственным интегралом от функции в промежутке называется интеграл равный т.е,: .
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае расходящимся.
В промежутке несобственный интеграл определяется по формуле:
.
Пусть функция на полуоткрытом интервале непрерывна и in.
Определение. Значение для функции определенной в полуинтервале называется несобственным интегралом. Если этот предел существует и конечен , то интеграл называется сходящимся в противном случае расходящимся:
Пример.Вычислить: .
Решение.
Метод сравнения
Для определения сходимости несобственных интегралов часто используют метод сравнения.
Еслиx>aи выполняется и является сxoдящимся то, интеграл также будет сходящимся.
Если x>a и выполняется и является расходящимся то, и интеграл будет расходящимся.


Приложения определённого интеграла в экономике
_{Объём выпускаемой продукции для функции} за промежуток времени от a до b определяется по формуле.
Если трудовые затраты линейно зависимы от времени, и капитальные затраты не меняются то, функцияКобби – Дугласа будет иметь вид . В этом случаеобъём выпускаемой продукции за время Т вычисляется по формуле .
Если вместе с функцией известна также функция затрат электроэнергии, то затраты электроэнергии можно вычислить поформуле (1) .


Дисконтирование
_{Если известна процентная ставкаp и известна последняя сумма взятая за время t то операция определения начального вклада называется дисконтированием.}
Дисконтирование широко используется в задачах на капитал.
_{по времени t являясь функцией полезности дает возможность вычислить проценты} к которым добавляются непрервыные проценты. В этом случае за время дисконтирование можно определить по формуле: В экономике часто надо подсчитать средние значения. В этом случае задачи на среднее значение вычисляются с помощью теоремы:
, здесь
Отсюда среднее значение функции взятой на в средней точке определяется по формуле: .
Пример. Функция прибыли рабочего , здесь t- время_,в часах, . Найти объём выпускаемой ежемесячно продукции группы составленной из 15человек.