Metrik fazoda ketma-ketlik va uning limiti

5-tearema (Больцано-Вейерштрасс tearemasi).
fazoda har qanday chegaralangan ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin.
5⁰. Хусусий hоллар. bo’lganda bo’lib, undagi ketma-ketlik sonlar ketma-ketligi bo’ladi. Ma’lumki, sonlar ketma-ketligi va uning limiti 6-8-ma’ruzalarda batafsil o’rganilgan.
bo’lganda bo’lib, undagi ketma-ketlik tekislik nuqtalaridan iborat

ketma-ketlik bo’ladi. Bu ketma-ketlikning limiti va sonlar ketma-ketliklarining limitlari orqali o’rganiladi.
Masalan, ushbu

ketma-ketlik limitga ega bo’lmaydi, chunki

ketma-ketliklar limitga ega emas.

FAZODA KETMA-KETLIK VA UNING LIMITI
Natural sonlar to’plami N va fazoda berilgan bo’lib, F xar bir n (nєN) ga fazoning biror muayyan nuqtasini mos quyuvchi akslantirish bo’lsin:
F:n → yoki
Bu akslantirishni quyidagicha tasvirlash mumkin:


………………………………

F:n → akslantirishning tasvirlaridan tuzilgan
x⁽¹⁾ x⁽²⁾… x⁽ⁿ⁾ … (1) to’plam ketma-ketlik deb ataladi, va u {x(n)} kabi
belgilanadi. Xar bir x⁽ⁿ⁾ni ketma-ketlik xadi deyiladi. Demak (1) ketma-ketlik xatlari fazo nuqtalaridan iborat ekan. Shuni xam ta’kidlash kerakki {x(n)} ketma-ketlikning mos koordinatalaridan tuzilgan.
{x₁⁽ⁿ⁾}, {x₂⁽ⁿ⁾},… {x_m⁽ⁿ⁾}lar sonli ketma-ketlik bo’ladi {x(n)} ketma-ketlikni shu m ta ketma-ketlikning birgalikda qaralishi deb hisoblash mumkin.
Misol.





2. fazoda ketma-ketlikning limiti tushunchasi (R da) xaqiqiy sonlar ketma-ketligining limiti tushunchasi kabi kiritiladi.
fazoda biror x₁⁽ⁿ⁾x₂⁽ⁿ⁾… x_m⁽ⁿ⁾ … (1) ketma-ketlik va biror
a = (a₁, a₂,… a_m) є nuqta berilgan bo’lsin.
Ta’rif : Agar ixtiyoriy ε> 0 son olinganda xam , shunday n₀ є N,topilsaki barcha
_{n > n0} uchun ρ (x⁽ⁿ⁾ a)< є (2) bajarilsa a nuqta {x(n)} ketma-ketliking limiti deb ataladi va yoki da kabi belgilanadi
a nuqtaning ε – atrofidan foydalanib ketma-ketlik limitini quyidagicha ta’riflash mumkin.
Ta’rif : a nuqtaning U ε (a) atrofi olinganda ham {x(n)} ketma-ketlikning biror hadidan boshlab, keyingi barcha hadlari shu atrofga tegishli bo’lsa, a nuqta { x⁽ⁿ⁾} ketma-ketlikning limiti deb ataladi.
Misol { x⁽ⁿ⁾} = {(-1)ⁿ⁺¹, (-1)ⁿ⁺¹} ketma-ketlikning limiti mavjud ekanligi ko’rsatilsin.
Teskarisini faraz qilaylik ketma-ketlik limitga ega va u a=(a₁a₂) ga teng bo’lsin. U holda ta’rifga ko’ra ε>0 (jumladan ε =1) uchun n₀ єN topiladiki n > n₀ lar uchun.
^{bo’ladi }

Bu ziddiyatlik ketma-ketlikning limitining mavjud ekanligini bildiradi.
fazoda {x⁽ⁿ⁾ }={x₁⁽ⁿ⁾x₂⁽ⁿ⁾… x_m⁽ⁿ⁾ } ketma -ketlik berilgan bo’lsin, u limitga ega bo’lsin.u holda limit ta’rifiga ko’ra, ketma ketlikning biror hadidan boshlab barcha hadlari a nuqtaning U_ε (a) sferik atrofiga tegishli bo’ladi va shu nuqtaning parallelepipedial atrofining qismi bo’ladi
Demak hadlari { x⁽ⁿ⁾} ketma-ketlikning o’sha n₀ hadidan boshlab barcha hadlari a nuqtaning
atrofida yotadi, ya’ni barcha n>n₀ lar uchun xⁿ  ) = {(x₁, x₂ … x_m) є ; a₁-ε < x¹< a₁+a₂ a₂ – ε _{2 2}+ ε, … a_m – ε < x_m < a_m+ ε} bo’ladi.
Bundan esa n > n₀ lar uchun

bo’lishi kelib chiqadi.
Demak  ε >0 olinganda ham shunday n₀ є N topiladiki, barch n > n₀ lar uchun. │x₁⁽ⁿ⁾ - a│< ε , │x₂⁽ⁿ⁾ - a│< ε …. │x_m⁽ⁿ⁾ - a│< ε bo’ladi


bu esa
ekanligini bildiradi.
Shunday qilib {xⁿ} ketma-ketlik limitga ega va uning limiti a bo’lsa uning koordinatlaridan tuzilgan {x₁⁽ⁿ⁾}, {x₂⁽ⁿ⁾}, … {x_m⁽ⁿ⁾} ketma-ketlik ham limitga ega va ular mos ravishda a ning koordinatlariga teng.
Demak
Endi fazoda {x(n)} ketma-ketlikning koordinatlaridan tashkil topgan {x₁⁽ⁿ⁾}, {x₂⁽ⁿ⁾}, … {x_m⁽ⁿ⁾} sonlar ketma-ketligi limitdga ega va u a nuqtaning mos koordinatlariga teng bo’lsin
Yani
_{U xolda limit ta’rifiga ko’ra}  ε >0 son olinganda ham
_{ga ko’ra shunday
n0}⁽¹⁾ є N topiladiki n > n₀⁽¹⁾ lar uchun│x₁⁽ⁿ⁾–a₁│< _{n0(2)єN topiladiki
n > n0(2)} lar uchun │x₂⁽ⁿ⁾ – a₂│< _{bo’ladi.
Agar n0}= max {n₀⁽¹⁾, n₀⁽²⁾, … n₀^(m)} deb olsak unda barcha n>n₀ uchun bir yo’la │x_i⁽ⁿ⁾ – a_i│< <sub>tengsizliklar bajariladi. U holda

bo’lib,</sub> undan