Metrik fazolarda bog’lanish

XULOSA

Foydalanilgan adabiyotlar

Kirish

Bu kurs ishida “Funksiya differensiali” haqida ma’lumot berilgan.
Ma’l matematik analiz fanida funksiya tushunchasi muhim o’rin tutadi. Biz o’rta maktab matematika kursida elementar funksiyalarni o’rgangan edik. Bu kurs ishida funksiya tushunchasi.

1. 
   Funksiya differensiali
   
2. 
   funksiya differensiali va hosila orasidagi bog’lanish teoremalari
   
3. 
   Differensial hisobining asosiy teoremalari, Koshi teoremasi, Lagranj teoremasi, Roll teoremasi, keltiriladi va isbot qilinadi
   
4. 
   mavzuga doir misollar ko’rib chiqiladi.
   

Kurs ishining oxirida esa kurs ishini yozishda qanday adabiyotlardan foydalanganligi haqida ma’lumot berilgan.

f ( x)

funksiya ^{(a, b)}

1. Funksiya differensiali

intervalda aniqlangan bo’lsin.


x (a, b)

nuqtani olib

unga shunday ∆ ^x ottirmani beraylikki,
(x₀  x) (a, b)
bo’lsin. U xolda


f ( x)

funksiyani xam
^x₀ nuqtada
y 
f (x  x)  f (x )

0
0
ottirmaga ega bo’ladi.

Ravshanki,
^y ottirma
^x ga bog’liq bo’lib, ko’pchilik hollarda
^x bilan ^y

orasidagi bog’lanish murakkab bo’ladi. Tabiiyki, bunda
^x ga ko’ra
^y ni aniq

yoki taqribiy hisoblash qiyinlashadi. Natijada ottirmasi
^x ottirma bilan soddaroq

bog’lanishda bo’lgan funksiyalarni o’rganish masalasi yuzaga keladi.

1. 
   ta’rif. Agar
   

y x₀ (a,b) ni
f ( x)
funksiyaning
x₀ (a, b)
nuqtadagi ottirmasi

y  Ax  x

(1)

Ko’rinishda ifodalash mumkin bo’lsa,
f ( x)
funksiya
^x₀ nuqtada differensiallanu

^{vchi deb ataladi, bunda} A  x
ga bog’liq bo’lmagan o’zgarmas, α esa
^x bog’liq

va x  0 da esa    (x)  0 ^{   (x)  0} . Agar

x   (x)x  o(x)
e’tiborga olsak, u xolda yuqoridagi (1) ifoda ushbu

y 
Ax  ox

(2)

Ko’rinishni oladi. Funksiya ottirmasi uchun (1) formula ^A
bosh qismi deb yuritiladi.

1. Funksiya differensiali va uning geometrik manosi.

ifoda ottirmaning

f ( x)
funksiya ^{(a, b)}
intervalda aniqlangan bo’lib, ^x ∈^{(a, b)}
nuqtada

differensiallanuvchi bo’lsin. Demak, funksiyaning ^x nuqtadagi ottirmasi
y  Ax  ox

Ko’rinishda yozilishi mumkin, bunda
A  f ^(x)
bo’ladi. Bu tenglikda funksiya

ottirmasi ^y
ikki qo’shiluvchi argument ottirmasi ^x
ga nisbatan yuqori tartibli

^{(x  0)} da cheksiz kichik miqdor
o(x)
lar yig’indisidan iborat ekani ko’rinadi.

2. ta’rif.

^{f ( x)} funksiya ottirmasi ^y
ning ^x
ga nisbatan chiziqli bosh

qismi
Ax 
f ^(x) x
berilgan
^{f ( x)} funksiyaning ^x nuqtadagi differensiali deb

ataladi. Funksiyaning differensiali ^dy yoki
df (x)
kabi belgilanadi:

dy  df (x)  Ax  f ^(x)  x

Ta’rifga ko’ra
f ( x)
funksiyaning ^x nuqtadagi differensiali
^x ning chiziqli

funksiyasi bo’lib, u funksiya ottirmasi
^y dan
o(x)
ga farq qiladi .

Endi ^x ∈^{(a, b)}
nuqtada diffesensiallanuvchi bo’lgan funksiyaning grafigi

yuqoridagi chizmada ko’rsatilgan chiziqni ifodalasin deylik. Bu chiziqning

^{(x, f (x))} , ^{(x  x, f (x  x))}
nuqtalarni mos ravishda F va B bilan belgilaylik.

Unda FC= ^x , BC= ^y
bo’ladi.
^{f ( x)} funksiya ^x ∈^{(a, b)}
nuqtada

differensiallanuvchi bo’lgani uchun u ^x nuqtda chekli
f ^( x)
xosilaga ega.

Demak,
^{f ( x)} funksiya grafigiga uning
F (x, f (x))
nuqtasida o’tkazilgan FL

urinma mavjud va bu urinmaning burchak koffisenti
tg 
^{f (x)} . Shu FL

urinmaning BC bilan kesishgan nuqtasini D bilan belgilaylik. Ravshanki FDC

DC
dan _FC
 tg

va undan

DC  tg  FC 


f ^(x)  x

ekani kelib chiqadi.

Demak,
^{f ( x)} funksiyaning ^x nuqtdagi differensiali
dy 
f ^(x)x
funksiya

grafigiga
F (x, f (x))
nuqtada o’tkazilgan urinma ottirmasi DC ni (DC= ^dy )

ifodalaydi. Xususan,
f (x)  x
bo’lganda bu funksiyaning differensiali

bo’lib,
dy 
f ^(x)  x  x

dy  dx  x

bo’ladi. Bu xol erkli o’zgaruvchi ^x ning erkli ottirmasi
^x ni uning differensiali

dx bilan almashtirilishi mumkinligini ko’rsatadi. Bu nuqtdagi differensialini quyidagi
^{f ( x)} funksiyaning ^x

dy 
f ^(x)  dx  y^dx
(3)

ko’rinishda ifodalash mumkin ekanini anglatadi.

1-eslatma. Biz
^{f ( x)} funksiyaning ^x nuqtdagi xosilasini ^dy
dx

simvol

tariqasida belgilagan edik. (3) munosabatdan esa ^dy
dx

nisbat funksiya differensiali

^dy ning argument differensiali ^dx ga nisbatidan iborat ekani ko’rinadi. Shuni ta’kidlash lozimki, differensiallanuvchi funksiyalar uchun ^dy bilan ^dx lar

proporsional o’zgarib
f ^( x)
proporsionallik koffisentini ifodalaydi.

Endi funksiya differensialining (3) ifodasidan foydalanib, elementar funksiyalarning differensiallari jadvalini keltiramiz:

¹⁰ .
2⁰ .
d (x^ )  x^1  dx
d (a^x )  a^x  ln a  dx
(x  0) _;
(a  0, a  1) ;

3⁰ .
d (log_a

10. 
     ¹ log
    

_x a
e  dx
(x  0, a  0, a  1) ;
d (ln x)  ^dx ;
x

4⁰ .
5⁰ .
d (sin x)  cos x  dx ;
d (cos x)  sin x  dx ;

6⁰ .


d (tgx) 
1

cos² x

 dx
(x  ^  k ; k  0, 1,...) ;
2

7⁰ .


d (ctgx)  
1

sin² x

 dx

(x  k ; k  0, 1,...) ;

⁸⁰ .


d (arcsin x) 

1. 
    dx
   

(1  x  1) ;

⁹⁰ .
d (arccos x)   ¹
 dx
(1  x  1) ;

¹⁰⁰ .
d (arctgx) 
1
1 x²
 dx ;

11⁰ .


d (arcctgx)  
1
1 x²

 dx ;

12⁰ .
13⁰ .
d (shx)  chx  dx ;
d (chx)  shx  dx ;

14⁰ .
d (thx) 
1


ch² x
 dx ;

15⁰ .

d (cthx)  
1


sh² x


 dx

(x  0) ;

2. Murakkab funksiyaning differensiali

^{f ( x)} va
g(x)
funksiyalar ^{(a, b)}
intervalda aniqlangan bo’lib,
x (a, b)

ularning differensiallari
df (x) _,
dg(x)
mavjud bo’lsin . U xolda
f (x)  g(x)

f (x)  g(x)
_va f ( x)
g ( x)
(g(x)  0)
funksiyalar xam shu
x (a, b)
nuqtada

differensiallari mavjud va ular quyidagi

^{d[ f (x)  g(x)]  df (x)  dg(x)} ,

d[ f (x)  g(x)] 
f (x)dg(x)  g(x)df (x)
(4)

_d[ f (x)_{] } g(x)  df (x)  f (x)dg(x)


(g(x)  0)

Formula o’rinli.

g(x)
g ² (x)

Xaqiqatan xam, funksiya differensialining (3) ko’rinishda ifodalanishidan va funksiyaning xosilalarini topish qoidalaridan foydalanib topamiz:
d[ f (x)  g(x)]  ( f (x)  g(x))^'  dx  f ^'(x)  dx  g ^'(x)  dx  df (x)  dg(x) ,
d[ f (x)  g(x)]  ( f (x)  g(x))^'  dx  g(x)  f ^'(x)  dx  f (x)  g ^'(x)  dx  g(x)  df (x)  f (x)  dg(x) ,

f (x)
f (x) _'
g(x)  f ^' (x)  dx  f (x)g ^'(x)  dx g(x)  df (x)  f (x)  dg(x)

d[ ]  ( )  dx 
g(x) g(x)
g ² (x)
^ .
g ² (x)

Xususan,
d (c  f (x))  c  df (x)
(c  const) .

1-natija. Yuqorida keltirilgan formulalardan foydalanib, qo’shiluvchilar hamda ko’paytiruvchilar soni ixtiyoriy chekli bo’lgan xolda xam tegishli formulalar o’rinli bo’lishini ko’rsatish mumkin.
Endi murakkab funksiyaning differensialini topamiz.

Faraz qilaylik,
u  f (x)
funksiya (a, b)
intervalda,
y  F (u)
funksiyalar esa (c, d )

intervalda aniqlangan bo’lib, bu funksiyalar yordamida, murakkab funksiya tuzilgan bo’lsin.
y  F ( f (x))  Ф(x)

Murakkab funksiyaning xosilasi uchun topilgan (4) formuladan foydalanib, shu
murakkab funksiyaning differensialini topamiz:
dФ(x)  d[F ( f (x))]  [F ( f (x))]^ dx  F ^(u)  f ^(x)  dx  F ^(u)  du .
^{Shuni ta’kidlash lozimki, bu xolda} du ^{miqdor argument u ning erkli orttirmasi} emas, u x o’zgaruvchining funksiyasidir.