Метрология, стандартизация и сертификация

 

---

62 
4.7 Методы обработки результатов прямых измерений 
Основные положения методов обработки результатов 
прямых измерений с многократными наблюдениями определены в 
ГОСТ 8.207-76. 
За результат измерения принимают среднее арифмети-
ческое данных n наблюдений, из которых исключены систематичес-
кие погрешности. При этом предполагается, что результаты наблю-
дений после исключения из них систематических погрешностей 
принадлежат нормальному распределению. Для вычисления резуль-
тата измерения следует из каждого наблюдения исключить система-
тическую погрешность и получить в итоге исправленный результат 
i–го наблюдения. Затем вычисляется среднее арифметическое этих 
исправленных результатов, которое принимается за результат 
измерения. Среднее арифметическое является состоятельной, 
несмещенной и эффективной оценкой измеряемой величины при 
нормальном распределении данных наблюдений.
Следует отметить, что иногда в литературе вместо термина 
результат наблюдения иногда применяют термин результат 
отдельного измерения, из которого исключены систематические 
погрешности. При этом за результат измерения в данной серии из 
нескольких измерений понимают среднее арифметическое значение. 
Это не меняет сути излагаемых ниже процедур обработки 
результатов.
При 
статистической 
обработке 
групп 
результатов 
наблюдений следует выполнять следующие  операции: 
1. Исключить из каждого наблюдения известную систематическую 
погрешность и получить исправленный результат отдельного 
наблюдения x. 
2. Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов 
наблюдений, принимаемое за результат измерения: 
Т
n
x
x
n
i
i



1
3. Вычислить оценку
S
среднего квадратического отклонения 
группы наблюдений: 
)
1
(
)
(
1
2





n
x
x
S
n
i
i

---

63 
Проверить наличие грубых погрешностей – нет ли значений 
)
(
x
x
i

, которые выходят за пределы 

3S. При нормальном законе 
распределений с вероятностью, практически равной 1 (0,997), ни 
одно из значений этой разности не должно выйти за указанные 
пределы. Если они имеются, то следует исключить из рассмотрения 
соответствующие значения 
i
x
и заново повторить вычисления 
x
и 
оценку S. 
4. Вычислить оценку СКО
)
(x
S
результата измерения (среднего 
арифметического) 
)
1
(
)
(
)
(
1
2





n
n
x
x
x
S
n
i
i
5. Проверить гипотезу о нормальности распределения результатов 
наблюдений.
Существуют различные приближенные методы проверки 
нормальности распределения результатов наблюдений. Некоторые 
из них приведены в ГОСТ 8.207-76. При числе наблюдений меньше 
15 в соответствии с этим ГОСТ принадлежность их к нормальному 
распределению не проверяют. Доверительные границы случайной 
погрешности определяют лишь в том случае, если заранее известно, 
что результаты наблюдений принадлежат этому распределению. 
Приближенно о характере распределения можно судить, построив 
гистограмму результатов наблюдений. Математические методы 
проверки 
нормальности 
распределения 
рассматриваются 
в 
специальной литературе.
6. Вычислить доверительные границы 

случайной погрешности 
(случайной составляющей погрешности) результата измерения 
)
(x
S
t
q


где t
q
- коэффициент Стьюдента, зависящий от числа наблюдений 
и доверительной вероятности. Например, при n = 14, P = 0,95 t
q
= 
2,16. Значения этого коэффициента приведены в приложении к 
указанному стандарту. 
7. Вычислить 
границы 
суммарной 
неисключенной 
систематической погрешности (НСП) результата измерений 

(по формулам раздела 4.6). 
8. Проанализировать соотношение 

и 
)
(x
S
:

---

64 
Если 
8
,
0
)
x
(
S


, то НСП по сравнению со случайными погрешностя-
ми пренебрегают, и граница погрешности результата 

= 

.. Если 
)
(x
S


8, то случайной погрешностью можно пренебречь и граница 
погрешности результата 

= Θ. Если оба неравенства не 
выполняются, то границу погрешности результата находят путем 
построения композиции распределений случайных погрешностей и 
НСП по формуле: 



KS , где К – коэффициент, зависящий от 
соотношения случайной погрешности и НСП; S

- оценка 
суммарного СКО результата измерения. Оценку суммарного СКО 
вычисляют по формуле: 





)
(
3
/
1
2
2
x
S
S
i

. 
Коэффициент К вычисляют по эмпирической формуле: 
)
(
3
/
1
)
(
2







i
i
x
S
K

. 
Доверительная вероятность для вычисления 

и 

должна быть 
одной и той же. 
Погрешность от применения последней формулы для 
композиции равномерного (для НСП) и нормального (для случайной 
погрешности) распределений достигает 12 % при доверительной 
вероятности 0,99.
9. Записать результат измерений. Написание результата измерений 
предусмотрено в двух вариантах, так как следует различать 
измерения, когда получение значения измеряемой величины 
является конечной целью, и измерения, результаты которых будут 
использоваться для дальнейших вычислений или анализа.
В первом случае достаточно знать общую погрешность 
результата измерения и при симметричной доверительной погреш-
ности результаты измерений представляют в форме: , где 
где
x
– результат измерения. 
Во втором случае должны быть известны характеристики 
составляющих погрешности измерения – оценка среднего 
квадратического отклонения результата измерения 
)
(x
S
, границы 
НСП 

, число выполненных наблюдений 
n
. При отсутствии 
данных о виде функций распределения составляющих погрешности 
P
,
x



---

65 
результата и необходимости дальнейшей обработки результатов или 
анализа погрешностей, результаты измерений представляют в 
форме: 

,
),
(
;
n
x
S
x
Если границы НСП вычислены в соответствии с п.4.6, то 
дополнительно указывают доверительную вероятность Р. 
Оценки 
)
(x
S
, 

и производные от их величины могут быть 
выражены как в абсолютной форме, то есть в единицах измеряемой 
величины, так и относительной, то есть как отношение абсолютного 
значения данной величины к результату измерения. При этом 
вычисления по формулам настоящего раздела следует проводить с 
использованием величин, выраженных только в абсолютной или в 
относительной форме.