Метрология, стандартизация и сертификация

и 
распределение 
Пуассона. В настоящем курсе они не рассматриваются. 
 
4.5.5 Доверительные интервалы 
Приведенные выше оценки параметров распределения 
случайных величин в виде среднего арифметического для оценки 
математического ожидания и СКО для оценки дисперсии 
называются точечными оценками, так как они выражаются одним 
числом. Однако в некоторых случаях знание точечной оценки 
является недостаточным. Наиболее корректной и наглядной оценкой 
случайной погрешности измерений является оценка с помощью 
доверительных интервалов.
Симметричный интервал в границами ± Δх(Р) называется 
доверительным интервалом случайной погрешности с довери-
3
2
x
x
1
2




---

58 
тельной вероятностью Р, если площадь кривой распределения 
между абсциссами –Δх и +Δх составляет Р-ю часть всей площади 
под кривой плотности распределения вероятностей. При нормировке 
всей площади на единицу Р представляет часть этой площади в 
долях единицы (или в процентах). Другими словами, в интервале от 
-

х(Р) до +

х(Р) с заданной вероятностью Р встречаются Р

100% 
всех возможных значений случайной погрешности.
Доверительный интервал для нормального распределения 
находится по формуле: 

t
P
x


)
(
где коэффициент t зависит от доверительной вероятности Р. 
Для нормального распределения существуют следующие 
соотношения между доверительными интервалами и доверительной 
вероятностью: 1

(Р=0,68), 2

(Р= 0,95), 3

(Р= 0,997), 4

(Р=0,999).
Доверительные вероятности для выражения результатов 
измерений и погрешностей в различных областях науки и техники 
принимаются равными. Так, в технических измерениях принята 
доверительная вероятность 0,95. Лишь для особо точных и 
ответственных измерений принимают более высокие доверительные 
вероятности. В метрологии используют, как правило, доверитель-
ные вероятности 0,97, в исключительных случаях 0,99. Необходимо 
отметить, что точность измерений должна соответствовать 
поставленной измерительной задаче. Излишняя точность ведет к 
неоправданному 
расходу 
средств. 
Недостаточная 
точность 
измерений может привести к принятию по его результатам 
ошибочных решений с самыми непредсказуемыми последствиями, 
вплоть до серьезных материальных потерь или катастроф.
При проведении многократных измерений величины х, 
подчиняющейся нормальному распределению, доверительный 
интервал может быть построен для любой доверительной 
вероятности по формуле:
)
(x
S
t
x
q



где t
q
 – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа наблюдений n 
и выбранной доверительной вероятности Р. Он определяется с 
помощью таблицы q-процентных точек распределения Стьюдента, 
которая имеет два параметра: k = n – 1 и q = 1 – P;
)
(x
S
– оценка 
среднего квадратического отклонения среднего арифметического. 
Доверительный интервал для погрешности 

х(Р) позволяет 

---

59 
построить доверительный интервал для истинного (действи-