Microsoft Word 21. Xudoynazarov Umidjon Umarjon o'g'li 83 17

---

TA’LIM SIFATINI OSHIRISHDA ZAMONAVIY INNOVATSION TEXNOLOGIYALAR 
 Xudoynazarov, U. U. (2023). Yosh olimlar, doktorantlar va tadqiqotchilarning onlayn ilmiy forumi. 
Elliptik egri 
chiziqli kriptografik algoritmlarda elliptik egri chiqizlarning ratsional nuqtalarini hisoblashning samarali usullarini 
tadqiq etish
, 70-73. TATUFF-EPAI. 
70 
ELLIPTIK EGRI CHIZIQLI KRIPTOGRAFIK ALGORITMLARDA ELLIPTIK 
EGRI CHIQIZLARNING RATSIONAL NUQTALARINI HISOBLASHNING 
SAMARALI USULLARINI TADQIQ ETISH. 
 
Xudoynazarov Umidjon Umarjon o‘g‘li 
 TATU Farg‘ona filiali 
Annotatsiya:Maqolada Axborotni kriptografik himoyalash usullari bugungi kunning 
dolzarb masalalaridan biri hisoblanadi. Shuning uchun bardoshli kriptografik algoritmlar ishlab 
chiqish, ularni amalga ishlari keng miqyosda davom etmoqda. Elliptik kriptotizimlarda 
axborotni himoya qilishning maxsus vositalarini ishlab chiqishning hozirgi bosqichida, asosan, 
elliptik egri chiziqning nuqtalari ko‘rinishida ma'lumotlarning tasviri qo‘llaniladi. 
Kalit 
so'zlar: 
kriptografik 
himoyalash, 
Elliptik 
kriptotizimlar, 
Elliptik 
egri 
chziqlar,Veyshtrass tenglamasi, kalitlarni hosil qilish, xabarni shifrlash va xabarni deshifrlash 
 
Axborotni kriptografik himoyalash usullari bugungi kunning dolzarb masalalaridan biri 
hisoblanadi. Shuning uchun bardoshli kriptografik algoritmlar ishlab chiqish, ularni amalga 
ishlari keng miqyosda davom etmoqda.
Elliptik kriptotizimlarda axborotni himoya qilishning maxsus vositalarini ishlab 
chiqishning hozirgi bosqichida, asosan, elliptik egri chiziqning nuqtalari ko‘rinishida 
ma'lumotlarning tasviri qo‘llaniladi.
Elliptik egri chziqlar deb 
+
+
=
+
+
+ ko’rinishidagi 
Veyshtrass tenglamasi orqali aniqlanuvchi egri chiziqqa aytiladi.
Elliptik egri chiziqlarning kanonik ko‘rinishi hisoblangan ushbu tenglama bilan ish 
ko’riladi 
=
+
+
+
Elliptik egri chiziqlar ustida quyidagi amallarni bajariladi: 
- Chekli maydonda 
= (
+
+ )
 elliptik egri chiziqni hosil qilish. 
Bunda 
(4 + 27 )
≠ 0 shart bajarilishi kerak. 
- Elliptik egri chiziqlar ratsional nuqtalarni aniqlash 
- Elliptik egri chiziqlar nuqtalarni qo‘shish 
- Elliptik egri chiziqlar nuqtalarni ikkilantirish 
Elliptik egri chiziqlarga asoslangan ochiq kalitli shifrlash algoritmlari kalitlarni hosil qilish, 
xabarni shifrlash va xabarni deshifrlash jarayonlaridan iborat.
Ushbu amallar barcha ochiq kalitli kriptografik algoritmlarda mavjud. Faqat ularni tashkil 
etgan matematik funksiyalarga asosan turli xil algebraik amallar bajariladi. 
Elliptik egri chiziqlarga asoslangan kriptografik algoritmlarda kalitlarni hosil qilish uchun 
chekli maydonda elliptik egri chiziqni qurish kerak. 
Misol tariqasida p=37 maydonda a=2 va b=9 parametrli quyidagi elliptik egri chiziqni hosil 
qilamiz. Bunda 
(4
+ 27 )
≠ 0 shartni tekshiramiz, (4 ∗ 8 + 27 ∗ 81)
37 = 36 ≠
0 shart bajarildi. Hosil qilingan elliptik egri chiziq 
=
+ 2 + 9
37 elliptik chiziq 
quriladi. 
Kalitlarni hosil qilishning keyingi qadamida berilgan chekli maydondagi elliptik egri 
chiziqning ratsional nuqtalari hisoblanadi.
Ratsional nuqtalarni aniqlashning ikki xil usuli mavjud.
Birinchi usulida 
+
+
ko’phadning berilgan parametrlarida mos qiymatlari 

---

TA’LIM SIFATINI OSHIRISHDA ZAMONAVIY INNOVATSION TEXNOLOGIYALAR 
 Xudoynazarov, U. U. (2023). Yosh olimlar, doktorantlar va tadqiqotchilarning onlayn ilmiy forumi. 
Elliptik egri 
chiziqli kriptografik algoritmlarda elliptik egri chiqizlarning ratsional nuqtalarini hisoblashning samarali usullarini 
tadqiq etish
, 70-73. TATUFF-EPAI. 
71 
hisoblab chiqiladi. 
= √
+
+
qiymat hisoblanadi. Berilgan qiymatlar ning butun 
qiymatlariga mos ning qiymatlari ratsional 
, nuqtalar to’plami tanlab olinadi. 
Misol uchun. 
=
+ 2 + 9 
37 elliptik chiziqning ratsional nuqtalarini 
hisoblaymiz. Tenglamaga ga mos qiymatlarni berib hisoblab chiqamiz. Buni jadval 
ko’rinishida ifodalaymiz.
+ 2
+ 9 
+ 2
+ 9 
= !
+ 2 + 9
9 
756 
16 
4 
2
0 
8049 
20 
4,472135955 
2
1 
9312 
25 
5 
2
6 
1763
7 
25 
5 
2
7 
1974
6 
25 
5 
2
8 
2201
7 
2 
1,414213562 
2
9 
2445
6 
36 
6 
3
7 
5073
6 
9 
3 
Jadvaldan berilgan 
= √
+ 2 + 9
ning butun qiymatlariga mos 
ning 
qiymatlarini olib ratsional nuqtalarini 
, hisoblaymiz.
=
+ 2 + 9 
37 tenglamaning ratsional nuqtalari to’plami: (9,4), (21,5), (26,5), 
(27,5), (29,6), (37,3).
Lekin ushbu usul bo’yicha berilgan tenglamaning barcha ratsional nuqtalarini aniqlab 
bo’lmaydi. 
Berilgan parametrdagi elliptik egri chiziqlarning ratsionlar nuqtalarini aniqlashning 2- usuli 
bu E
37
(2,9) maydonda y
2
mod37 va x
2
+2x+9mod37 qiymatlarni hisoblash va o’zaro qiymatlari 
teng kelgan (x,y) ratsiona nuqtalarni tanlab olish kerak. 
y
y
2
mod37 
x
2
+2x+9 
mod37 
1
1 
12 
2
4 
21 
3
9 
5 
.
.. 
.... 
.. 
... 
3
6 
1 
6 
6 
3
7 
0 
7 
9 
Natijada quyidagi barcha ratsional nuqtalarga ega bo’lamiz. 
{(5,25), (1,30), (21,32), (7,25), (25,12), (4,28), (0,34), (16,17), (15,25), (27,32), (9,4), 
(2,24), (26,5), (33,14), (11,17), (31,22), (13,30), (35,21), (23,7), (10,17), (29,6), (29,31), (10,20), 
(23,30), (35,16), (13,7), (31,15), (11,20), (33,23), (26,32), (2,13), (9,33), (27,5), (15,11), (16,20), 
(0,3), (4,9), (25,25), ( 7,12), (21,5), (1,7), (5,12)} 

---

TA’LIM SIFATINI OSHIRISHDA ZAMONAVIY INNOVATSION TEXNOLOGIYALAR 
 Xudoynazarov, U. U. (2023). Yosh olimlar, doktorantlar va tadqiqotchilarning onlayn ilmiy forumi. 
Elliptik egri 
chiziqli kriptografik algoritmlarda elliptik egri chiqizlarning ratsional nuqtalarini hisoblashning samarali usullarini 
tadqiq etish
, 70-73. TATUFF-EPAI. 
72 
Ushbu berilgan nuqtalar orqali elliptik egri chiziqqa asoslangan kriptografik 
algoritmlarning kalitlarini hosil qilishimiz mumkin. 
Elliptik egri chiziqlarning ratsional nuqtalarini aniqlashning 2 xil usulini ko‘rib chiqdik. 
Ratsional nuqtalarni aniqlashning tenglamalar ko’rinishdagi birinchi usulida barcha 
nuqtalarni aniqlashni inkon mavjud emas va qadamlab hisoblash uzoq vaqt talab qiladi. 
Ratsional nuqtalarni aniqlashning va qiymatlarini hisoblagan holda aniqlash usuli esa, 
nisbatan aniqroq va tezkor usul hisoblanadi. Bu usul orqali elliptik egri chiziqning barcha 
ratsional nuqtalarini aniqlash mumkin. 
Xulosa qilib aytadigan bo’lsak, Ratsional nuqtalarni aniqlashning va qiymatlarini 
hisoblagan holda aniqlash usuli samarali va tezkor usul hisoblanadi.