Министерство развития информационных технологий и коммуникации республики узбекистан

Доказательство

Суммируя подмножества, рассмотренные в лемме, меняя mm и kk, получаем: Bn+m=∑nk=0∑mj=1Bn+m=∑k=0n∑j=1m{mj}jn−k(nk)Bk={mj}jn−k(nk)Bk=Bn+m=∑nk=0∑mj=0Bn+m=∑k=0n∑j=0m{mj}jn−k(nk)Bk{mj}jn−k(nk)Bk т.к. {m0}=0{m0}=0.

Производящая функция

Экспоненциальной производящей функцией чисел Белла является:
B(x)=∑∞n=0Bnn! xn=eex−1.B(x)=∑n=0∞Bnn!xn=eex−1.
Суммирование используется для определения экспоненциальной производящей функции для любой последовательности чисел. Правая часть является результатом выполнения суммирования в конкретном случае.

Моменты распределения вероятностей

Числа Белла удовлетворяют формуле Добинского:
Bn=1e∑∞k=0knk!.Bn=1e∑k=0∞knk!.
Эта формула может быть получена за счет расширения экспоненциальной производящей функции, используя ряд Тейлора^[4] для экспоненциальной функции, а затем собирая условия с аналогичным показателем экспоненты.^[5]. Это позволяет интерпретировать B_n как nn-й момент Пуассоновского распределения с ожидаемым значением 11.

Интегральное представление

Применение интегральной формулы Коши ^[6] для экспоненциальной производящей функции дает комплексное интегральное представление:
Bn=n! 2πie∫γeezzn+1dz.Bn=n!2πie∫γeezzn+1dz.

Логарифмическая вогнутость

Числа Белла формируют логарифмически выпуклую последовательность. Деление их на факториал, Bnn!Bnn!, дает логарифмически выпуклую последовательность.

Темпы роста

Известно несколько асимптотических формул для чисел Белла. Беренд Тасса в 20102010-м^[7] установлил следующие границы:
Bn<(0.792nln(n+1))nBn<(0.792nln⁡(n+1))n для всех положительных чисел nn;
кроме того, если ε>0ε>0 затем для всех n>n0(ε)n>n0(ε),
Bn<(e−0.6+εnln(n+1))nBn<(e−0.6+εnln⁡(n+1))n
где  n0(ε)=max{e4,d−1(ε)} n0(ε)=max{e4,d−1(ε)}  и  d(x)=lnln(x+1)−lnlnx+1+e−1lnx. d(x)=ln⁡ln⁡(x+1)−ln⁡ln⁡x+1+e−1ln⁡x. Числа Белла могут быть аппроксимированы с помощью функции Ламберта WW ^[8], данная функция имеет такой же темп роста, как логарифм, как
Bn∼1n√(nW(n))n+12exp(nW(n)−n−1).Bn∼1n(nW(n))n+12exp⁡(nW(n)−n−1).
Мозер Л. и Вайман М.^[9] установили расширение:
Bn+h=(n+h)!W(n)n+h×exp(eW(n)−1)(2πB)1/2×(1+P0+hP1+h2P2eW(n)+Q0+hQ1+h2Q2+h3Q3+h4Q4e2W(n)+O(e−3W(n)))Bn+h=(n+h)!W(n)n+h×exp⁡(eW(n)−1)(2πB)1/2×(1+P0+hP1+h2P2eW(n)+Q0+hQ1+h2Q2+h3Q3+h4Q4e2W(n)+O(e−3W(n)))
Асимптотическое выражение
lnBnn=lnn−lnlnn−1+lnlnnlnn+1lnn+12(lnlnnlnn)2+O(lnlnn(lnn)2)as n→∞ln⁡Bnn=ln⁡n−ln⁡ln⁡n−1+ln⁡ln⁡nln⁡n+1ln⁡n+12(ln⁡ln⁡nln⁡n)2+O(ln⁡ln⁡n(ln⁡n)2)as n→∞
Было установлено де Брайном^[10] в 19811981 году.