Minorlar va algebraik to’ldiruvchilar

Vektorlarning yo’naltiruvchi kosinuslari.
={x,y,z} vektor Ox,Oy,Oz koordinata o’qlari bilan mos ravishda burchaklar tashkil qilsin.
Ta’rif. vektorning koordinata o’qlari bilan hosil qilgan burchaklar kosinuslariga ya’ni cos ,cos,cos larga vektorning yo’naltiruvchi kosinuslari deyiladi.
Proyeksiyalash qoidalaridan foydalansak chizmadan ko’rinadiki
x=a_x=pr_Ox =| |cos ,
y=a_y=pr_OU =| |cos
z=a_z=pr_Oz =| |cos
Misol. A(1,2,3) V(2,4,5) bo’lsa, = vektorning yo’naltiruvchi kosinuslarini toping.
Yechish. ={1;2;2} , | |=3 , cos=1/3 ; cos=2/3 ; cos=2/3.

Skalyar ko’paytma.
1-ta’rif. va vektorlarning skalyar ko’paytmasi deb, shunday songa aytiladiki, bu son shu vektorlar uzunliklari bilan ular orasidagi burchak kosinusi ko’paytmasiga teng bo’ladi va odatda yoki ( ) ko’rinishda yoziladi.
Demak ta’rifga ko’ra =| || |cos ; = ^
Misol. | |=3, | |=2, =60° bo’lsa ( )=
Skalyar ko’paytmani quyidagicha ham ta’riflash mumkin.
2-ta’rif. Ikki vektorning skalyar ko’paytmasi deb, ihtiyoriy bittasining uzunligini ikkinchisining birinchi vektor yo’nalishidagi proyeksiyasi bilan ko’paytmasiga aytiladi. Pr_a =| |cos yoki Pr_b =| |cos tengliklardan foydalansak
=| || |cos=| |Pr_a =| | Pr_b ; Pr_a ; Pr_b
Skalyar ko’paytmaning fizik ma’nosi: kuchning moddiy nuqtani s masofaga ko’chirgandagi bajargan ishdir. yoki .
Skalyar ko’paytmaning xossalari.
1. o’rin almashtirish xossasi.
2. ( + ) = + taqsimot xossasi.
3. guruhlash xossasi.

4. 
   Agar va vektorlar bir xil yo’nalishdagi kollinear vektorlar
   

bo’lsa, =| || | chunki cos 0=1.
Agar qarama-qarshi yo’nalgan bo’lsa, =-| || | chunki cos180⁰=-1.
5. =| || |cos0=| |^{2 2}= | |²
6. perpendikulyar bo’lsa , =0 bo’ladi.
Eslatma. 5 va 6 xossalardan foydalanib birlik vektorlarning skalyar ko’paytmalarini ko’rsak

tengliklarning o’rinli bo’lishi ravshan.
Skalyar ko’paytmaning koordinatalari orqali ifodasi.
Agar ={x₁, y₁, z₁} , ={x₂, y₂, z₂} vektorlar koordinatalari orqali berilgan bo’lsa, ni hisoblaylik.
={ x₁ +y₁ +z₁ )(x₂ +y₂ +z₂ )=(eslatmaga ko’ra)= x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂
Demak koordinatalari bilan berilgan ikkita vektorning skalyar ko’paytmasi mos koordinatalari ko’paytmalarining yiğindisiga teng bo’lar ekan.
va vektorlar yiğindisi esa quyidagicha hisoblanadi:
={x₁ x₂; y₁ y₂; z₁ z₂}