Mirzayev diyorbek ning matematik analiz fanidan

Foydani maksimallashtirish

Foyda funksiyasini maksimallashtirish iqtisodiy masalalarning keng tarqalgan optimizatsiya masalalaridan bo’lib, bu bo’limda biz ikkinchi shart asosida foyda funksiyasini maksimallashtirishni mukammal o’rganamiz va u MC va MR funksiyalarining kesishish nuqtalariga bog’liqligini ko’ramiz.

Foydaning maksimumga erishishining birinchi qoidasi bu . Lekin, bo’ladigan ikki X va Y nuqta mavjud. Faqat X nuqta foyda maksimizatsiyasi uchun ikkinchi shartni qanoatlantiradi, chunki bu yerda MC MR ni quyidan kesmoqda.



Misol. umumiy xarajat funksiyasi va to’la foyda funksiyasi bo’yicha foyda maksimumga erishadigan ishlab chiqarish hajmni toping.
Yechish. Dastlab, MC va MR funksiyalarini


va ular kesishadigan nuqtani aniqlaymiz. MC = MR da ular kesishadi.
,

Demak, yoki .
Bu ikki ishlab chiqarishda, MC va MR grafiklar kesishgan nuqtada, maksimizatsiyaning ikkinchi sharti bajariladimi? Bu savolga javob berish uchun, daromad funksiyasini aniqlaymiz va uni maksimumini topamiz. Demak, daromad

Differensiallab va nolga tenglab

(5) va (3) tenglamalar yechishga ega emas, demak, ikkita yoki yechishlar bor. Shunga qaramasdan, ikkinchi shart yordamida tekshiramiz.
(4) dan ikkinchi hosila hisoblab
bo’lsa, va minimumga erishadi.
bo’lsa, va maximumga erishadi.
Shuning uchun MR va MC chiziqlarining faqat bitta kesishish nuqtasi maksimumga erishishning ikkinchi shartini qanoatlantiradi. Bu MC MR ni quyidan kesgan nuqtadir. Bu tasdiqni quyidagicha isbotlaylik:
(1) ni differensiallab
(2) ni differensiallab
da MC og’ishi ( ya’ni, MR manfiy qiya og’adi).
da MC og’ishi (ya’ni, MR musbat og’adi).
Shuning uchun da MC MR ga nisbatan mafigi qiya og’ishga ega bolib, uni yuqoridan kesadi. da MC musbat og’ishga ega bolib, MR ni quyidan kesadi.³