Мирзо улуг’бек номидаги о’збекистон миллий университети математика факултети “Амалий математика ва информатика” ёналиши

МИРЗО УЛУГ’БЕК НОМИДАГИ О’ЗБЕКИСТОН МИЛЛИЙ УНИВЕРСИТЕТИ

МАТЕМАТИКА ФАКУЛТЕТИ

“Амалий математика ва информатика” ёналиши

3-босқич талабаси

Аралова Ҳусниянинг

Ҳисоблаш усуллари фанидан

КУРС ИШИ

Мавзу: “Айирмали схемалар назариясининг асосий тушунчалари. Аппроксиматсия, тургунлик, яқинлашиш”

Текширди:

ТОШКЕНТ 2020-йил

Мундарижа

Айирмали схемалар назариясининг асосий тушунчалари. Аппроксиматсия, тургунлик, яқинлашиш 3

Масала 13

Хулоса 16

Адабиётлар 17

Айирмали схемалар назариясининг асосий тушунчалари. Аппроксиматсия, тургунлик, яқинлашиш

АППРОКСИМАЦИЯ (лот. approximara — яқинлаштириш) — математик миқдорларни улардан соддароқ миқдорлар орқали тақрибий ифодалаш. Кўпинча, эгри чизиқларни синиқ чизиқлар, иррационал сонларни рационал сонлар, функцияларни кўпҳадлар ёки яқинлаштирадиган турли содда аппаратлар орқали исталган даражадаги аниқликда Аппроксимация ланади.

Биз ҳозир икки ва уч қатламли умумий кўринишли чизиқли айирмали схемаларнинг турғунлиги ўрганилади. Айирмали схемалар у ёки бу бошланғич тенгламага боғланмаган ҳолда, оператори Евклид фазосида ишловчи оператор тенгламалар сифатида қаралади.

Турғунлик шартлари оператор тенгсизликлар кўринишда тавсифланадилар. Назарияни маълум айирмали схемалар турғунлигини текширишга қўллаш, бу схемаларни каноник кўринишда ёзиб, оператор тенгсизликларнинг бажарилишини текширишдан иборат.

Айирмали схемаларни оператор тенгламалар кўринишда тасвирлаш.

Айирмали схемалар математик физиканинг у ёки бу масаласини аппроксимация қилиш натижасида пайдо бўлади ва уни ечиш учун мўлжалланадилар. Шунинг учун айирмали схемалар назариясида дифференциал тенгламаларни айирмали тенглама билан аппроксимация қилиш ва айирмали схема ечимининг бошланғич дифференциал тенглама ечимига яқинлашиш масалалари муҳим ўринни эгаллайди. Аммо, айирмали схема қурилгандан сўнг у мустақил математик объектга айланади ва у уни вужудга келтирган дифференциал масалага боғланмаган ҳолда ўрганилиши мумкин.

Бунда аппроксимация ва яқинлашишдек масалалар тушиб қоладилар, лекин корректлик масаласи қолади.

Айирмали схема чизиқли алгебраик тенгламалар системасидан иборат. Уни ҳамма вақт

(1)

вектор тенглама кўринишда ёзиш мумкин.

Бу ерда А системанинг матрицаси, y топилиши керак бўлган вектор, берилган вектор бўлиб, у айирмали тенглама ўнг томони ва қўшимча шартлар (бошланғич ва чегаравий шартлар) орқали аниқланади. Бундай ёзув шакли стационар айирмали масалалар учун қулай бўлиб, икки ва уч қатламли айирмали масалалар учун ёзувнинг бошқа кўриниши қулайдир.

(1) тенгламани оператор тенглама сифатида қараш мумкин. Бу ерда чекли ўлчовли Н фазода А чизиқли оператор, y қидирилаётган Н фазо элементи ва Н берилган элемент.

Айирмали схемаларда шу нарса характерлики, ҳар бир схема (1) -кўринишдаги битта тенгламани эмас, балки h га боғлиқ бўлган тенгламалар оиласини аниқлайди:

(2)

h нинг ҳар бир қийматида A_h оператори H_h - чекли ўлчовли фазода ишлайди. H_h фазонинг ўлчови h га боғлиқ бўлиб, h 0 да ўсиб боради.

(2) - оператор тенглама кўринишида ёзиладиган бир қанча айирмали схемалар мисолларини келтирамиз. Маълум схемани (2)- кўринишда ёзиш учун, H_h фазони мувофиқлаштириб киритиш лозим, A_h операторни аниқлаш ва _h ўнг томонни бериш керак.

1-мисол. (22) - маърузадаги иккинчи тартибли айирмали ҳосила операторини келтирамиз.

тўрда

(3)

айирмали схемани қараймиз.

(3)- системани

(4)

кўринишда ёзамиз. Бу ерда ўлчовли функциялардан иборат фазони киритамиз. H_N-1 да А оператор ва у векторни қуйидагича аниқлаймиз:

(5)

(6)

Унда (4)- айирмали схемани (1) оператор кўринишда ёзиш мумкин.

2-мисол.

соҳада

тўрни аниқлаймиз.

Фараз қиламиз, тўрнинг G соҳа чегарасидаги тугун нуқталари тўплами бўлсин, тўрнинг ички нуқталари бўлсин.

Пуассон тенгламасини аппроксимацияловчи айирмали схемани қараймиз:

, агар x_ijh

y_ij =0 , агар x_{ij h} (8)

Фараз қиламиз, H() ва H() мос равишда ва тўрларда аниқланган функцияларнинг чизиқли фазоси бўлсин. H⁰() -_h -да нолга тенг бўлган тўрда аниқланган функиялар тўплами берилган бўлсин.

фазо ўлчови тўрининг тугун нуқталари сони

(N₁-1)x(N₂-1) га тенг, (8) - масалага Н⁰()дан Н() фазога акслантирувчи А оператор мос келади. Бу оператор

(9)

формулалар орқали аниқланади. (8)- айирмали схемани (1) - кўринишда А (9) - каби аникланган ва _ij формулалар орқали аниқланади.

(9)- тенглама хоссалари 21-маърузада батафсил ўрганилган.