Мирзо улуг’бек номидаги о’збекистон миллий университети математика факултети “Амалий математика ва информатика” ёналиши
Download 307,29 Kb.
|
Husniya Kurs ishi
- Bu sahifa navigatsiya:
- Айирмали схемаларнинг турғунлиги.
- Бошлангич берилганларга нисбатан тургунлик теоремалари
2-мисол. 1-мисолда аниқланган тўрда
айирмали схемани қараймиз. (7)- схемани (3)- каноник кўринишга келтирамиз. Энг аввал уни
ёки
кўринишда ёзамиз. Кейинги тенгламани 0.5h2 - га бўлиб айирмали схемани ҳосил қиламиз. Бундан B=E , = 0,5h2 ва Айирмали схемаларнинг турғунлиги. Стационар масалалар ҳолидагидек (3)- айирмали схема коррект деб айтилади, агар yn=yh,(tn) ечим: а) мавжуд, б) ягона, в) n ва y0 бошланғич берилганларга ва h га нисбатан текис узлуксиз боғлиқ бўлса. Келгусида ҳамма вақт B-1 оператор мавжуд деб ҳисоблаймиз (агар B=Bh, (tn) бўлса B-1,,h, tn ларнинг ҳар бир мумкин бўлган қийматларида мавжуд). Турғунликнинг катъий таърифини берамиз. Hh фазода y(tn)Hh ечимни ўлчаш учун ||.||1h ва (tn) ни ўлчаш учун ||.||2h нормалар берилган деб ҳисоблаймиз.
баҳолар ўринли бўлса, (3)- айирмали схема турғун деб айтилади. (10)- тенгсизлик орқали ифодаланган турғунлик ўнг томон ва бошланғич берилганларга нисбатан турғунлик деб айтилади. Худди шундай, ўнг томонга нисбатан турғунлик ва бошланғич берилганларга нисбатан турғунлик тушунчалари ҳам ишлатилади. Бир жинсли
y0Hh берилган тенгламани қараймиз. 2-таъриф. (3)- айирмали схема бошланғич берилганларга нисбатан турғун деб айтилади, агар n, - ларга боғлиқ бўлмаган шундай M1 мавжуд бўлиб ҳар қандай y0Hh бошланғич берилганлар учун (11)- тенглама ечими учун ўринли бўлса. Энди бир жинсли бўлмаган, лекин бошланғич шартлари нолга тенг бўлган (3)- тенгламани караймиз: 3-таъриф. (3) - айирмали схема ўнг томонга нисбатан турғун деб айтилади, агар h, n, ларга боғлиқ бўлмаган шундай M2>0 доимий сон мавжуд бўлсаки, ҳар қандай баҳо ўринли бўлса. Айирмали схема чизиқли бўлганлиги учун, ўнг томонга ва бошланғич берилганларга нисбатан бир вақтда турғун бўлишидан унинг 1- таъриф маъносидаги турғунлиги келиб чиқади.
баҳо ўринли бўлса. Айирмали схемалар назариясида константа сифатида =1, =1+c0 ёки = ec0 , (11) - биржинсли тенгламани кўринишда ёзамиз. Бунда S=E-B-1A, (17) (3) - схеманинг ўтиш оператори деб айтилади. y0Hh ихтиёрий бўлганлиги учун бошланғич берилганлар бўйича (15) турғунлик шарти S оператор нормасининг доимий сон билан чегараланганлигига эквивалентдир: S оператор n-га боғлиқ бўлиши мумкин. Келгусида n-нинг мумкин бўлган қийматлари деб, шундай n=1,2,...,K-1 сонларга айтамизки K=T бўлсин. Бунда T>0 берилган сон 0 , K интилади. 1-теорема. Фараз қиламиз (3)-схема ||.||1h нормада бошланғич берилганлар бўйича текис турғун бўлсин. Ундан (3)- схема ўнг томон бўйича ҳам турғун бўлиб, унинг ечими учун (10) баҳо ўринлидир. Бунда Исбот. (3) - тенгламани n=j учун кўринишда ёзиб оламиз ва учбурчак тенгсизлигини қўллаймиз: Бу тенгсизликни бир неча марта кўллаб тенгсизликни ҳосил қиламиз. Бошлағич берилганларга нисбатан текис турғунлик шартига кўра, барча мумкин бўлган n учун баҳога эга бўламиз. Исботни тугал бўлиши учун, тенгсизлик ўринли эканлигини кўрамиз. 1 - теоремани инобатга олсак, айирмали схемаларни бошланғич берилганлар бўйича турғунлигини тадқик этиш билан чегараланиш кифоядир. Биз (15) - бахо, =1 бўлган ҳолни қараймиз. Бошлангич берилганларга нисбатан тургунлик теоремалари Фараз қиламиз Hh да (y, Hh фазода ишловчи D-оператор мусбат аниқланган деб айтилади, агар барча yHh учун (Dy,y)>0 бўлса. Агар D ўзига қўшма ва мусбат аниқланган бўлса, унда 2-теорема Фараз қиламиз (3)- тенгламадаги А оператор ўзига қўшма , мусбат ва n га боғлиқ бўлмасин. Агар
оператор тенгсизлик бажарилса, унда (3)- схема бошланғич берилганларга нисбатан текис турғун бўлиб, (11)- биржинсли тенглама ечими учун баҳо ўринлидир. Исбот. айниятни ҳосил қиламиз. Бу айниятни оддий шакл ўзгартириш бажариб кўринишда ёзиш мумкин. бўлгани учун (22)ни кўринишда ёзиш мумкин. Бундан сўнг А операторнинг ўзига қўшмалигидан, n га боғлиқ эмаслигидан ва мусбатлигидан фойдаланиб Бундан ва (23) – дан айниятга келамиз. (20) – шартдан тенгсизликни ҳосил қиламиз, Шу сабабли (24) га асосан (11) – тенглама ечими учун тенгсизлик ўринли бўлади. Бу (21) тенгсизлик билан бир хил. (2)- теорема исбот бўлди. 3-теорема. 2-теоремада А операторга қуйилган шартлар билан тенгсизликдан (11)- тенглама ечими учун (21)- баҳо келиб чиқади. Теорема худди 2-теорема каби исбот қилинади. Бу ерда биз Download 307,29 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling