Мирзо улуг’бек номидаги о’збекистон миллий университети математика факултети “Амалий математика ва информатика” ёналиши

2-мисол. 1-мисолда аниқланган тўрда

(7)

айирмали схемани қараймиз.

(7)- схемани (3)- каноник кўринишга келтирамиз. Энг аввал уни

ёки

кўринишда ёзамиз. Кейинги тенгламани 0.5h² - га бўлиб

айирмали схемани ҳосил қиламиз.

Бундан B=E , = 0,5h² ва эканлиги кўриниб турибди.

Айирмали схемаларнинг турғунлиги.

Стационар масалалар ҳолидагидек (3)- айирмали схема коррект деб айтилади, агар y_n=y_h,(t_n) ечим: а) мавжуд, б) ягона, в) _n ва y₀ бошланғич берилганларга ва h га нисбатан текис узлуксиз боғлиқ бўлса.

Келгусида ҳамма вақт B^-1 оператор мавжуд деб ҳисоблаймиз (агар B=B_h, (t_n) бўлса B^-1,,h, t_n ларнинг ҳар бир мумкин бўлган қийматларида мавжуд).

Турғунликнинг катъий таърифини берамиз. H_h фазода y(t_n)H_h ечимни ўлчаш учун ||.||_1h ва (t_n) ни ўлчаш учун ||.||_2h нормалар берилган деб ҳисоблаймиз.

1-таъриф Агар h,,n ларга боғлиқ бўлмаган M₁>0 , M₂>0 константалар мавжуд бўлиб, ихтиёрий _h,H_h ўнг томонлар ва ихтиёрий y₀H_h бошланғич берилганлар учун (3)- тенглама ечими учун

(10)

баҳолар ўринли бўлса, (3)- айирмали схема турғун деб айтилади. (10)- тенгсизлик орқали ифодаланган турғунлик ўнг томон ва бошланғич берилганларга нисбатан турғунлик деб айтилади. Худди шундай, ўнг томонга нисбатан турғунлик ва бошланғич берилганларга нисбатан турғунлик тушунчалари ҳам ишлатилади.

Бир жинсли

(11)

y₀H_h берилган тенгламани қараймиз.

2-таъриф. (3)- айирмали схема бошланғич берилганларга нисбатан турғун деб айтилади, агар n, - ларга боғлиқ бўлмаган шундай M₁ мавжуд бўлиб ҳар қандай y₀H_h бошланғич берилганлар учун (11)- тенглама ечими учун

(12)

ўринли бўлса.

Энди бир жинсли бўлмаган, лекин бошланғич шартлари нолга тенг бўлган (3)- тенгламани караймиз:

(13)

3-таъриф. (3) - айирмали схема ўнг томонга нисбатан турғун деб айтилади, агар h, n, ларга боғлиқ бўлмаган шундай M₂>0 доимий сон мавжуд бўлсаки, ҳар қандай учун (13) тенглама ечими учун

(14)

баҳо ўринли бўлса.

Айирмали схема чизиқли бўлганлиги учун, ўнг томонга ва бошланғич берилганларга нисбатан бир вақтда турғун бўлишидан унинг 1- таъриф маъносидаги турғунлиги келиб чиқади.

4-таъриф. (3) - айирмали схема бошланuғич берилганларга нисбатан текис турғун деб айтилади, агар шундай h, n, ларга боғлиқ бўлмаган >0 ва M₁>0 доимий сонлар мавжуд бўлиб ихтиёрий n = 0, 1,...,K-1 , K>1, ва барча y_nH_h лар учун (11) - биржинсли тенглама ечими y_n+1 учун ,

(15)

баҳо ўринли бўлса.

Айирмали схемалар назариясида константа сифатида =1, =1+c₀ ёки = e^c0 , h, , n - га боғлиқмас қийматлардан бири олинади. Масалан, агар, =e^c0бўлса, унда ⁿ=e^c0n =e^c0tn e^c0T , яъни М=e^c0Т T =К

(11) - биржинсли тенгламани

(16)

кўринишда ёзамиз.

Бунда

S=E-B^-1A, (17)

(3) - схеманинг ўтиш оператори деб айтилади. y₀H_h ихтиёрий бўлганлиги учун бошланғич берилганлар бўйича (15) турғунлик шарти S оператор нормасининг доимий сон билан чегараланганлигига эквивалентдир:

₍₁₈₎

S оператор n-га боғлиқ бўлиши мумкин. Келгусида n-нинг мумкин бўлган қийматлари деб, шундай n=1,2,...,K-1 сонларга айтамизки K=T бўлсин. Бунда T>0 берилган сон 0 , K интилади.

1-теорема. Фараз қиламиз (3)-схема ||.||_1h нормада бошланғич берилганлар бўйича текис турғун бўлсин. Ундан (3)- схема ўнг томон бўйича ҳам турғун бўлиб, унинг ечими учун (10) баҳо ўринлидир. Бунда ва M₂=M₁T.

Исбот. (3) - тенгламани n=j учун

кўринишда ёзиб оламиз ва учбурчак тенгсизлигини қўллаймиз:

Бу тенгсизликни бир неча марта кўллаб

(19)

тенгсизликни ҳосил қиламиз.

Бошлағич берилганларга нисбатан текис турғунлик шартига кўра, барча мумкин бўлган n учун , хусусий ҳолда этамиз. Шунинг учун (19)-баҳодан

баҳога эга бўламиз. Исботни тугал бўлиши учун,

тенгсизлик ўринли эканлигини кўрамиз. 1 - теоремани инобатга олсак, айирмали схемаларни бошланғич берилганлар бўйича турғунлигини тадқик этиш билан чегараланиш кифоядир. Биз (15) - бахо, =1 бўлган ҳолни қараймиз.

Бошлангич берилганларга нисбатан тургунлик теоремалари

Фараз қиламиз H_h да (y,)_h скаляр кўпайтма ва норма киритилган бўлсин. Соддалик учун скаляр кўпайтма ва норма белгиларидаги h белгисини тушириб қолдирамиз.

H_h фазода ишловчи D-оператор мусбат аниқланган деб айтилади, агар барча yH_h учун (Dy,y)>0 бўлса. Агар D ўзига қўшма ва мусбат аниқланган бўлса, унда нормани киритиш мумкин. Бундай норма, D оператори ҳосил қилган энергетик норма деб айтилади. Келгусида; D-мусбат (D-номанфий, яъни) эканлигини билдиради. H_h ҳақиқий фазо деб ҳисоблаймиз.

2-теорема Фараз қиламиз (3)- тенгламадаги А оператор ўзига қўшма , мусбат ва n га боғлиқ бўлмасин.

Агар

(20)

оператор тенгсизлик бажарилса, унда (3)- схема бошланғич берилганларга нисбатан текис турғун бўлиб, (11)- биржинсли тенглама ечими учун

(21)

баҳо ўринлидир.

Исбот. каби белгилаб (11) тенгламани y_t га скаляр кўпайтирамиз. Унда

айниятни ҳосил қиламиз. Бу айниятни оддий шакл ўзгартириш бажариб

(22)

кўринишда ёзиш мумкин.

бўлгани учун (22)ни

(23)

кўринишда ёзиш мумкин.

Бундан сўнг А операторнинг ўзига қўшмалигидан, n га боғлиқ эмаслигидан ва мусбатлигидан фойдаланиб



<sub>Бундан ва (23) – дан



айниятга келамиз.

(20) – шартдан



тенгсизликни ҳосил қиламиз,

Шу сабабли (24) га асосан (11) – тенглама ечими учун




тенгсизлик ўринли бўлади. Бу (21) тенгсизлик билан бир хил. (2)- теорема исбот бўлди.</sub>

3-теорема. 2-теоремада А операторга қуйилган шартлар билан

тенгсизликдан (11)- тенглама ечими учун (21)- баҳо келиб чиқади. Теорема худди 2-теорема каби исбот қилинади.

Бу ерда биз , яъни (20) шартни ҳисобга олдик 2 ва 3 теоремалар конкрет икки қатламли айирмали схемалар ҳолида турғунликни тадқиқ этиш учун қуйидаги қоидага амал қилиш лозимлигига имкон беради. Энг аввал (3) схемани каноник кўринишга келтириш керак ва А,В операторларни аниқлаш лозим. Ундан сўнг А оператор хоссаларини аниқлаш керак. Агар бу оператор мусбат, ўзига қўшма ва n га боғлиқ бўлмаса, унда (20) шартнинг бажарилишини текшириш керак. (20) шарт ва h га чеклар қўяди. Бу чеклар айирмали схеманинг тўр шарти деб айтилади.