Model va modellashtirish tushunchalari. Matematik modellashtirishga misollar. Chiziqli va nochiziqli oddiy differensial tenglamalar bilan ifodalangan matematik modellar

Modellashtirish sub'yekti - bu modelni quradigan, o'rganadigan yoki undan foydalanadigan shaxs yoki shaxslar guruhi.
Modellashtirish ob'yekti - bu model qurilayotgan tizim, jarayon yoki hodisa.

28-rasm - Uchta modellashtirish ob'ekti
28-rasmda chap tomonda modellashtirish mavzusi - bosh suyagidan foydalanib, 7-asrda yashagan shaxsning (modelning) yuzini tiklagan tadqiqotchi taqdim etilgan.
Masalan, biror voqea haqidagi gazeta maqolasi model, voqeaning o‘zi modellashtirish ob’yekti, maqolani yozgan muxbir va uni o‘qigan kishilar modellashtirish sub’yekti hisoblanadi.

§ 2. Modellashtirish bosqichlari
Modellarning xilma-xilligiga qaramay, modellashtirish jarayonida har qanday modelni qurish uchun umumiy bo'lgan bir qancha bosqichlarni ajratib ko'rsatish mumkin.Matematik modelga asoslangan kompyuter matematik modellashtirish bosqichlarini ko'rib chiqamiz.
1. Masalaning qo’yilishi.
Bu bosqichda birinchi navbatda modellashtirish maqsadi aniqlanadi. Bundan tashqari, maqsadga qarab:
-Ob'yektning tuzilishi yoki ishlashi yoki jarayonning borishi bog'liq bo'lgan x1, x2, x3, ..., xn kirish qiymatlari ro'yxati aniqlanadi,
-y1, y2, y3, ..., yk chiqish qiymatlari ro'yxati aniqlanadi, ularning qiymati modellashtirish natijasida olinishi kerak.
Masalan, Quyosh tizimiga bostirib kirgan kometaning parvozi uchun model qurilayotgan bo'lsa, u holda kometa massasi, tezligi, paydo bo'lish vaqti, Quyosh sistemasi sayyoralarining massasi va joylashuvi kirish kattaliklari va kometa Yerga yaqinlashadigan eng kichik masofa - chiqish miqdori.
x1, x2, x3, ..., xn modelining kirish parametrlari deterministik, ya'ni yagona aniqlangan yoki stokastik, ya'ni ehtimollik ma'nosida aniqlangan bo'lishi mumkin, bunga qarab model deterministik yoki stokastik bo'ladi. Stokastik model uchun chiqish parametrlari deterministik yoki ehtimolli bo'lishi mumkin.
Kometa harakati modelida uning massasi, tezligi va paydo bo'lish vaqti aniq belgilanmagan, ammo ma'lum bir ehtimollik bilan modellashtirish natijasi - eng kichik masofa ham ma'lum bir ehtimollik bilan hisoblanadi, shuning uchun tuzilgan model raketaning harakati stokastik bo'ladi.
Ko‘plab amaliy masalalar nochiziqli tenglamalar sistemasini
yechishga olib kelinadi. Umumiy holda n noma’limli n ta nochiziqli
algebraik yoki transendent tenglamalar sistemasi quyidagicha yoziladi:
ushbu sistemani vektor shaklida quyidagicha yozish mumkin:
f(x)=0
bu yerda – argumentlarning vektor ustuni;
– funksiyalarning vektor ustuni; – transponirlash
operatsiyasi belgisi.
Nochiziqli tenglamalar sistemasi yechimini izlash – bu bitta nochiziqli
tenglamani yechishga nisbatan ancha murakkab masala. Bitta tenglamani yechish uchun qo‘llanilgan usullarni nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga umumlashtirish juda ko‘p hisoblashlarni talab qiladi yoki uni amaliyotda qo‘llab bo‘lmaydi. Xususan, bu oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuliga tegishli. Shunga qaramasdan nochiziqli tenglamani yechishning bir qator iteratsion usullarini nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga umumlashtirish mumkin.


Issiqlik tarqalish tenglamasi

tenglamani va


Shartlarni qanoatlantiruvchi nuqtaga xos bir jinsli tenglama yechimi topilsin (aynan nolmas).
Bu masala yechimini ko‘rinishida axtaramiz.
(4) ni (1) ga qo‘yamiz:

(5) ifodani (4) ga bo‘lamiz.

(6) ning chap va o‘ng tomonini alohida o‘zgaruvchilardan iborat bo‘lgani uchun (6) tenglik
yoki hamda
larga ega bo‘lamiz.
Bu tengliklar λ >0 uchun o‘rinli.. Shuning uchun ning o‘rniga yozamiz.
Bu tenglamalarni (2)-(3)-shartlarda qarasak, oddiy differensial tenglama uchun quyidagi Shturm-Luivill masalasini hosil qilamiz:
(I)
(II)
Navbatda (I) va (II) Shturm-Luivill masalalarini yechamiz. Dastlab (II) ni yechamiz. (II) ning yechimi , (9) bo‘lsin. Bu yerda k hozircha noma’lum son-parametr. (9) ni (II) ning 1-tenglamasiga qo‘yamiz.
=> => =>
Eyler formulasiga ko‘ra ( :


Yuqoridagilardan (10)
kelib chiqadi. X(0)=0 chegaraviy shartni (1) tenglamaga qo‘ysak, X(0)= cos + sin va sin hamda cos ekanligidan A=0 kelib chiqadi. Bundan ko‘rinadiki
X(x)=Bsin (11).
X(l)=0 chegaraviy shartni (11) tenglamaga qo‘yib, X(l)=Bsin =0 tenglikni hosil qilamiz. B 0 ekanligidan sin =0 hosil bo‘ladi. Bundan ni topsak:
.
Hosil bo‘lgan ning qiymatini (11) tenglamaga qo‘yib,
X(x)=sin (12) ifodani hosil qilamiz.
Huddi shunday T(t)= almashtirish olib, T(t) funksiyani topamiz. bo‘lgani uchun T(t) funksiya sonli qator ko‘rinishida hosil bo‘ladi. X(x) va T(t) funksiyalarni (1) tenglamaga olib borib qo‘ysak,
U(x,t)= (13)
va f(x,t) uchun f(x,t)= (14)
Furye qatorlarini hosil qilamiz. (14) tenglikdan Furye koeffitsientini topamiz:
(15)
Bu qiymatlar ((13), (14)) ni (1) ga qo‘ysak,
(16)
tenglik hosil bo‘ladi. ekanligidan,
=0 (17)
tenglama kelib chiqadi. (17) tenglamaning yechimi oddiy differensial tenglamalar kursidan bizga ma’lum.

Belgilashlar kiritib, (17) tenglamani ishlaymiz.
U’+AU-f=0 (18)
U(t)=g(t) v(t) (19) desak, U’(t)=g’(t) v(t)+v’(t) g(t) (20) bo‘ladi. (19) va (20) ni (18) tenglamaga olib borib qo‘yib, g va v ni topamiz.
g’v+v’g+Agv-f=0
g’v+(v’+Av)g-f=0
v’+Av=0
=-Av => =-A => ln(v)=-A(t+ ) => v=
g’v-f=0
= => dg=f dt => g= d
v va g funksiyalarni (19) tenglamaga qo‘ysak,

(21) ni (13) ga qo‘yib, yechimni

ko‘rinishda yozish mumkin.
Bunda belgilash kiritsak, (o‘rta qiymat haqidagi teoremaga ko‘ra) [ ]
va ning qiymatini U(x,t) ga qo‘ysak,
U(x,t)= d .

Mavzuni mustahkamlash uchun savol va topshiriqlar
1. Model deganda nimani tushunasiz?
2. Model hodisa va jarayonni qanday akslantirishi kerak?
3. Modelning taqribiylik xarakteri qanday ko‘rinishlarda namoyon bo‘ladi?
4. Modellashtirish uslublaridan qaerda foydalaniladi?
5. Modellashtirish qanday ob'ektlarni o‘rganishda, ayniqsa, muhim?
6. Modellarni qanday turlarga ajratish mumkin?
7. Abstrakt va fizik modellarning farqi nimada?


8. Biologik model deganda nimani tushunasiz?

9. Iqtisodiy model deganda nimani tushunasiz?