Модель ядерных оболочек

гармонический осциллятор N, Z = 2, 8, 20, 34, 58, 92, 168;
прямоугольная яма N, Z = 2, 8, 20, 34, 58, 92, 138;
потенциал Вудса-Саксона N, Z = 2, 8, 20, 34, 58, 92, 138.
Лишь первые три числа (2, 8, 20) совпадают с экспериментально установленными магическими числами. Для объяснения всего набора магических чисел, как оказалось, необходимо учесть спин-орбитальные силы, т.е. ту часть ядерного потенциала, которая зависит от взаимной ориентации орбитального и спинового моментов нуклона.
Спин-орбитальные силы играют существенную роль в атомных ядрах. С учетом спин-орбитальной добавки ядерный потенциал имеет вид

 (10)

где  как и 

В потенциале (10) снимается вырождение по полному моменту j нуклона в пределах одной оболочки, который при данном l в зависимости от ориентации спина нуклона принимает 2 значения:

 .

Происходит расщепление состояния с данным l на два состояния с разной взаимной ориентацией  и  . Таким образом, каждый одночастичный уровень расщепляется на два. Глубже опускается уровень с

 ,\

так как в этом случае нуклон сильнее взаимодействует с остальными.

В обозначение одночастичных уровней вводится нижний индекс, указывающий величину j. Так, вместо уровня lp появляются два уровня l и l . Величина расщепления, очевидно, тем больше, чем больше l (это следует уже из вида выражения ). Начиная с уровня lg (рис.3), затем lh и т.д., ls - расщепление становится сравнимым с расстоянием между соседними осцилляторными оболочками. Расщепление уровней с  настолько велико, что нижний уровень оболочки с максимальным j и l сильно опускается вниз и оказывается в предыдущей оболочке (это относится к уровням  ,  ,  ,  которые попадают соответственно в 4-ю, 5-ю, 6-ю и 7-ю оболочки).
Количество нуклонов одного сорта на одночастичном уровне равно  — числу проекций j на ось z:

 (11)

Состояния ядра в одночастичной модели оболочек определяются расположением нуклонов на одночастичных уровнях и называются конфигурациями. Основное состояние ядра отвечает расположению нуклонов на самых нижних одночастичных уровнях. Так, в ядре ¹⁶O в основном состоянии нуклоны полностью заполняют уровни  ,  и  .

Кулоновское взаимодействие протонов увеличивает энергию протонных одночастичных уровней по сравнению с нейтронными и видоизменяет потенциальную яму для протонов (она мельче нейтронной и за пределами ядра выходит на асимптотику кулоновского потенциала). С учетом этого расположение нуклонов по одночастичным уровням в основном состоянии ядра ¹⁶O показано на рис.5.



Приведенная на рис.3 последовательность уровней одинакова для протонов и нейтронов вплоть до Z = N = 50. При Z и N, больших 50, последовательности уровней и порядок их заполнения для протонов и нейтронов различаются. Для нейтронов с N > 50 имеет место тенденция к заполнению сначала уровней с меньшими моментами.
В трех случаях одночастичная модель оболочек однозначно предсказывает спин и четность основного состояния ядра:
1. Ядро с заполненными уровнями. Так как на каждом уровне заняты состояния со всеми возможными проекциями  , результирующий момент уровня и полный момент ядра  равны нулю. Каждому нуклону на уровне с проекцией  будет соответствовать нуклон с  и суммарный момент нуклонов уровня будет равен нулю. Возможные значения  даются следующим набором чисел:



Рис 6. Нуклоны одного типа на уровне с 

Например, если уровень имеет j = 3/2, то на нем может находиться 4 нуклона одного типа (4 протона и 4 нейтрона) и заполненный уровень с этими четырьмя нуклонами можно изобразить так, как на рис. 6

Четность заполненного уровня положительна, так как она содержит четное число (2j + 1) нуклонов одинаковой четности. Поэтому для заполненного уровня (оболочки)
 (12)

2. Ядро с одним нуклоном сверх заполненных уровней. Остов заполненных уровней имеет характеристики 0⁺, поэтому момент и четность определяются квантовыми числами единственного внешнего нуклона. Если этот нуклон в состоянии  , то полный момент ядра J = j, а результирующая четность ядра  . Поэтому для основного состояния ядра в этом случае имеем

 (13)

3. Ядро с «дыркой» в заполненном уровне, т. е. когда до заполнения уровня не хватает одного нуклона. Пусть квантовые числа нуклона на таком уровне  . Обозначим момент и четность уровня с «дыркой» j’ и p’. Так как добавление нуклона на уровень приводит к его заполнению, имеем

  (14)

т. е. для ядра с дыркой имеем те же правила определения спина и четности основного состояния, что и для ядра с одним нуклоном сверх заполненных уровней:

Рассмотрим теперь случай двух тождественных нуклонов на одном уровне. Между любой парой нуклонов одного типа на уровне действует дополнительное взаимодействие V_ост помимо общего, сводящегося к центрально симметричному V(r), и это взаимодействие V_ост (не сводимое к V(r)) называется, поэтому, остаточным. Опыт показывает, что свойства V_ост таковы, что паре нуклонов одного сорта на одном уровне выгодно иметь результирующий момент равный нулю. V_ост снимает вырождение по J этой пары, так что низшим оказывается состояние с J = 0. Это и есть упоминавшиеся ранее при обсуждении формулы Вайцзеккера силы спаривания. Дополнительная энергия связи ядра за счет этих сил 1-3 МэВ.

С учетом этого свойства легко сформулировать следующие правила для спинов J и четностей P в основном состоянии ядра:
четно-четное ядро



нечетное ядро

 (15)

нечетно-нечетно ядро

 ,

где  относятся к полному и орбитальному моменту нечетного нуклона (протона, нейтрона).

Возникновение сил спаривания в ядрах обусловлено особенностями взаимодействия в системе нуклонов. На характерных ядерных расстояниях нуклоны притягиваются, и им энергетически выгодно находиться на одном и том же уровне в состояниях, характеризуемых одними и теми же числами n, l, j. Поскольку кулоновское взаимодействие раздвигает протонные и нейтронные состояния (рис. 5), то наиболее выгодной является ситуация «совместного» нахождения в одном состоянии нуклонов одного типа. Однако это возможно лишь при соблюдении принципа Паули, что и диктует необходимость таким нуклонам при одинаковом  иметь различные  . Наиболее устойчивой при этом оказывается пара нуклонов с противоположно направленными моментами, т.е. с +j_z и -j_z . Такая пара нуклонов обладает максимально возможным набором совпадающих квантовых чисел, и, соответственно, волновые функции нуклонов этой пары характеризуются наибольшим перекрытием. Результирующий полный момент и четность такого состояния 
Таким образом, в основном и низколежаших состояниях ядер нуклоны группируются парами nn и pp с противоположно направленными  , и для того чтобы разрушить хотя бы одну такую пару, в ядро нужно внести энергию 1-3 МэВ. В противном случае связанные в пары нуклоны будут сколь угодно долго сохранять неизменными свои квантовые характеристики. Возникает своеобразная ситуация сверхтекучести ядерной материи. Аналогичная ситуация имеет место с электронами проводимости, которые при низких температурах объединяются в куперовские пары.



В одночастичной модели оболочек возбужденные состояния ядер возникают при переходе одного или нескольких нуклонов на более высокие одночастичные орбиты. Наиболее просто выглядит спектр возбужденных состояний ядер с одним нуклоном или «дыркой» сверх заполненных оболочек. Нижние возбуждения такого ядра образуются перемещением этого внешнего нуклона на более высокие (свободные) уровни или дырки на нижние уровни (вглубь) ядра. Примерами возбуждений такого типа являются нижние возбужденные состояния ядер  и  (рис. 7).
Первое из этих ядер — это ядро с нейтронной дыркой в дважды магическом коре  , второе – с одним нейтроном сверх этого же кора. В основном состоянии ядро  имеет одну вакансию (дырку) на уровне  . Поэтому спин J и четность основного состояния  . Ядро  в основном состоянии имеет одну частицу на уровне  сверх заполненного остова  .  . Представленные на рис. 7 возбуждения обусловлены соответственно перемещением нейтронной дырки (ядро  ) и нейтрона (ядро  ) по одночастичным уровням при неизменном дважды магическом коре   .
Одночастичные переходы в ядре  происходят между одночастичными состояниями, расположенными над уровнем Ферми. В ядре  одночастичные переходы происходят между одночастичными состояниями, расположенными ниже уровня Ферми.