Модель ядерных оболочек

4. Особенности спинов ядер

Следующим (вслед за энергией E и импульсом) квантовым числом, которое сохраняется у ядра в силу инвариантности к поворотам (см. п. 2, 3-я инвариантность списка), является полный момент J количества движения покоящегося ядра или, как говорят, спин ядра. Спин ядра является результатом сложения спинов  и орбитальных моментов  частиц (нуклонов), входящих в состав ядра.

Вообще говоря, ядерные состояния (как любой системы частиц) характеризуются также полным орбитальным моментом L (в центральном поле) и полным спиновым моментом S:

 (5)

В зависимости от типа взаимодействия между частицами возможны следующие варианты объединения орбитальных и спи новых моментов отдельных частиц в полный момент (спин) J:

 (6)

Очевидно, для ядра выполнение следующих правил:

а) А четно J = n (n = 0,1,2,3,...), т. е. целое;
б) А нечетно J = n +  т. е. полуцелое.
Кроме того, экспериментально установлено еще одно правило: у четно-четных ядер в основном состоянии (ground state) 
В основном состоянии остальных ядер

Все это указывает на взаимную компенсацию моментов нуклонов в основном состоянии — особое свойство межнуклонного взаимодействия.

5 Четность. Орбитальная и внутренняя четность. Четность системы частиц

Инвариантность системы (гамильтониана  ) относительно пространственного отражения — инверсии (замены  ) приводит к закону сохранения четности и еще одному квантовому числу — четности. Ядерный гамильтониан обладает соответствующей симметрией.

Действительно,

  (7)

Это означает, что система (ядро) не меняет своих свойств при .

Определим оператор пространственной инверсии  (оператор четности) для системы частиц следующим образом:

 (8)

или просто  если ввести обозначение  .

Подействуем на левую и правую части (3.8) еще раз оператором  :

 (9)

т.е.  - оператор тождественного преобразования.

С другой стороны  удовлетворяет уравнению на собственные значения (так как в силу инвариантности к пространственному отражению должно быть соответствующее сохраняющееся квантовое число):

 (10)

Из (9) и (10) следует, что

т.е. 

Итак, имеется две возможности

 (11)

или
 - четные функции (состояния),

 - нечетные функции (состояния).
До сих пор волновая функция  была волновой функцией системы точечных (бесструктурных) частиц. Вообще говоря, волновая функция частицы с индексом α имеет вид

 , (12)

где  описывает внутренне состояние частицы α, а  - движение частицы α как целого(точечного объекта по некоторой траектории (орбите). Вид волновой функции  в форме (3.12) следует из того, что гамильтониан объекта α можно представить как сумму гамильтонианов  , где  описывает объект как точку (без структуры), а  внутреннюю структуру объекта.

Оператор четности действует на каждый множитель в  :

 (13)

причем, если  - инвариантен к инверсии в пространстве внутренних координат,

 (14)

где  — внутренние координаты,  — внутренняя четность (оператор  в последнем соотношении совершает инверсию в пространстве внутренних координат частицы, от которых лишь и зависит  ).

Волновая функция  орбитального движения в центральном поле (т.е. движения с определенным l) может быть представлена в сферических координатах в виде

 (15)

Инверсия  соответствует в сферических координатах преобразованию

   (16)

при котором радиальная часть волновой функции  не меняется, a  — собственная функция оператора орбитального момента количества движения (так называемая сферическая функция или гармоника) — преобразуется следующим образом:

 (17)

Итак, имеем

 (18)

 называют орбитальной четностью.

Волновую функцию системы независимых частиц можно представить в виде произведения волновых функций отдельных частиц (точнее, в виде линейной комбинации этих произведений):

 (19)

где  . Откуда, если речь идет о движении частиц в центральном поле,

т.е. четность такой системы

 (20)

Для двух частиц

 (21)

В системе центра инерции

 –

орбитальный момент относительного движения.

Формулы (20), (21) можно применять к ядру как системе нуклонов, рассматривая их как независимые частицы в общем ядерном потенциале, а также к реакциям, когда частицы до и после столкновения можно считать невзаимодействующими.
Имеют смысл лишь относительные внутренние четности. Для протона принимают  . Нейтрон имеет ту же внутреннюю четность +1. Остальные внутренние четности определяют относительно протона. Для электрона, участвующего в электромагнитном взаимодействии,  . Для фотона  . Это следствие того, что электромагнитное поле описывается векторным потенциалом А, который эквивалентен волновой функции фотона, а для векторной функции
 (22)

Что позволяет приписать фотону 

Поясним ситуацию с четностью векторов. Ранее записанное соотношение (3.8) справедливо для скалярных функций  . При действии же оператора  на векторную функцию  следует для полноты инверсии изменить не только знаки радиус-векторов частиц ( ), но также знаки всех трех компонент вектора  , что неизбежно происходит при изменении направления всех координатных осей на противоположные. Поэтому для любого истинного (полярного) вектора имеет место соотношение (22).
Внутренние четности у частиц и античастиц с полуцелым спином (фермионов) противоположны, с целым (бозонов) — одинаковы.
Внутренние четности частиц получают из распадов и реакций с участием частиц с известной внутренней четностью на основе закона сохранения четности. Он имеет место в сильных и электромагнитных взаимодействиях и нарушается в слабых.
Рисунок 3.1 демонстрирует принятые обозначения спина и четности ядерных состояний  , например  ,  , и т.д.