Mualliflar: Abduraxmanov. P., fizika-matematika fanlari doktori, professor, Egamov U., fizika-matematika fanlari

352

DG = AG _V DG p = h³,

(115.2)


Erkin mikrozarrachalar uchun


^{h 3} (115.3)


DG „ =
^p 3
X,ar bir shunday elementga bir - biridan ajratib bo’ladigan kvant xolat to’g’ri keladi.
₃ h³
Olti o’lchamli fazoni h yoki ^ chekli o’lchamli kataklarga bulish fazoni kvantlash deb ataladi.


^olatlar zichligi


Zarrachalarning E dan E + dE energiya bulagiga to’g’ri kelgan
xolatlar sonini xisoblab kuramiz. Impulslar fazosida radiuslari
r va r + dp bulgan ikkita sferani ajratib olamiz (192 - rasm). Bu
sferalar orasida xajmi 4np³dp ga teng bulgan shar katlami
joylashgan. Bu shar katlamiga to’g’ri kelgan elementar katakchalar soni
kuyidagiga tengdir:
4lr³ dp 4nV
~ ' ' ' (115.4)


DG


r


p² dp


Pz






192-rasm.Sferik impulslar fazosida 4np dp xaajmli shar
satlami


353




X,ar bir elementar katakchaga mikrozarrachaning bitta xolati to’g’ri kelgani uchun dr impuls kengligiga to’g’ri keladigan xolatlar soni
g(p)dp _ -^tp^2dp , (115.5)
ga teng bo’ladi.
Erkin zarrachalar uchun kuyidagi ifodalar:
_p 2 2 p ,
E = v_ ^dE _— ^dp p ₌ 7 2 mE m ^m
dp _ . ^m dE l/2 mE


urinli bulgani uchun, xolatlar sonini kuyidagicha ifodalash mumkin:
g(E)dE _ ^ = (2sh)^,p4YO ■ dE (115.6)
p
Ana shu, E va E + dE energetik oralikdagi dE energiya intervaliga
s/
to’g’ri kelgan mikrozarrachalarning xolatlar sonidir. Uz navbatida xolatlar zichligi kuyidagiga tengdir:
g(E)_ ^■ (2m)^3/2VE , (115.7)
p³






193 - rasm. ^olatlar zichligining energiyaga boglitsligi


354

Bu ifodadan, E energiya ortishi bilan xolatlar zichligi 4! ga proporsional ravishda ortib borishi kurinib turibdi (193 - rasm).

Undan tashkari, xolatlar zichligi zarrachalar massasi ortishi bilan xam usib boradi.
Mikrozarrachalar sifatida elektronlarni olsak, xar bir elementar katakchalarga spinlari bilan fark kiladigan ikkita kvant xolati to’g’ri keladi.
SHu sababli, elektronlar uchun xolatlar soni va zichligi kuyidagicha bo’ladi:
g ⁽P )dp = P² dp , (115.8)
g(E)dE = j--(2mf'-JIdE , (115.9)


g(E)= j - (2mU'²4YO , (115.10)

116. 
     - §. Ideal gazning aynimaslik sharti
     

Xrlatlar zichligi ifodasini 0 dan E gacha kenglikda energiya buyicha integrallasak, shu energetik intervalga to’g’ri kelgan mikrozarrachalarning xolatlar sonini aniklashimiz mumkin:
G = -(2m)^3/"² E^3/2 h³ 3
Zarrachalarning ilgarilanma xarakat kinetik energiyasining
3
temperaturaga bog’liq ifodasidan (E = — kT )dan foydalansak, xolatlar sonining temperaturaga bog’liq ifodasiga ega bulamiz


G = V -


h


2
U


(116.1)


^N
Bu ifodani — << 1 tengsizlikka kuysak, ideal gazning aynimaslik
G
shartini keltirib chikaramiz:


355

N

— = n G


s l 3/
^r h^{2 V2}


_v 2nmkT j


<< ¹, (116.2)


bu erda n = N - birlik xajmdagi zarrachalar sonini belgilaydi.
Misol uchun, normal sharoitdagi azotning molekulyar gazini olamiz. U xolda:
n «10²⁶m~\ t = 4,5-10"²⁶kg, kT = 4-10"²¹ J, T= 300 K bo’lsa,
^N nisbat kuyidagiga teng bo’ladi:
G


3,
N

• 
  = n
  G
  

G _h2 V'²


10 "⁶


Demak, normal sharoitlarda oddiy molekulyar gazlar aynimagan
xolatda bo’ladilar va Maksvell - Bolsman taksimotiga
buysunadilar.
Endi esa, metallarda elektron gazning xolatini kurib chikamiz.
Metallarda elektron gaz uchun:
n = 5 • 10²⁸ m ^_3, m = 9 • 10 ^_31 kg
N
normal sharoitda, ya’ni T=300 K bulganda — nisbat kuyidagiga teng
G
bo’ladi:
N ₄
10⁴ >> 1


G
Demak, metallarda elektron gaz, odatdagi sharoitlarda xam aynigan gaz deb xisoblanadi va Fermi - Dirak kvant taksimotiga buysunadi.
Metallarda elektron gaz xolati temperatura 10⁵ K ga kutarilganda aynimagan xolatga utaboshlaydi, chunki bu temperaturada
N

• 
  nisbat birdan kichik bulib, -0,5 ga teng bo’ladi.
  

G


356




Aynimaslik xolati fakat temperatura ortganda kuzatilmay, balki elektron gaz konsentratsiyasi kamayganda xam kuzatiladi. YArim utkazgichlarda, odatdagi sharoitlarda elektron gaz konsentratsiyasi
22 3 3
10 m" dan kichik bo’ladi. Bu xolatda — nisbat >10 dan kichik bo’ladi
G
va yarim utkazgichlarda tok tashuvchilar konsentratsiyasi kam bulganda, aynimagan xolatda bo’ladi va Maksvell - Bolsman taksimoti bilan ifodalanadi.

116. 
     - §. Aynimagan gazning taksimot funksiyasi
     

Maksvell - Bolsman taksimot funksiyasi kuyidagi kurinishga


ega:


/MB (^E)= ^ekT ■ ^e


E


ju~ E


kT _ e kT


(117.1)


bu erda k - Bolsman doimiysi, i - ximiyaviy potensial. X,isoblashlarga kura aynimagan gaz uchun ximiyaviy potensial


U _ kT ln


N_
V


h


ch 3/ L/2


2 l mkT


(117.2)


ga teng va uni (56.1) - ifodaga kuysak, kuyidagiga ega bulamiz:


N
/mv (E) _ u


h