Mundarija: I. Bob. Ehtimollar nazariyasi haqida ma’lumot

2.3. ASOSIY FORMULALAR
Shunday qilib, yuqorida "tadbir", "ehtimollik nazariyasi» tushunchasini ko'rib chiqildi, bu ilm-fan asosiy shartlarini ta'riflar ham berilgan edi. Endi u muhim formulalar bilan o'zini tanishtirish vaqti keldi. Ushbu so'zlar, matematik ehtimollik nazariyasi kabi qiyin mavzu barcha asosiy tushunchalarni tasdiqlangan. bir hodisa yuzaga va juda katta rol o'ynaydi
Sahifalar kombinatorik asosiy formulalar bilan boshlash. Siz ularni boshlash oldin va u nima inobatga arziydi Kombinatorika - u birikmalarning bir qator etakchi, butun sonlarning, va hokazo, ham raqamlar va ularning elementlari, turli ma'lumotlar, turli permütasyonlarından katta qator o'rganish qilingan, birinchi navbatda, matematika filiali hisoblanadi ... Ehtimollar nazariyasi tashqari, bu sanoat statistika, informatika va kriptografiya uchun muhim ahamiyatga ega.
Endi siz o'zlari va ta'rifi formulalar taqdimotiga ko'chirishingiz mumkin.
Bu birinchi quyidagicha bo'ladi, permütasyonlarından soni ifodasidir:
P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!
elementlar tashkil tartibda faqat farq bo'lsa tenglama faqat holda amal qiladi.
Bu muhokama qilinadi kabi Endi joylashtirish formula, u ko'rinadi:
Butunlik oblasti ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ⋅ ... (n - m + 1) = n! : (N - M)!
Bu ifoda tartibi joylashtirish faqat element uchun, balki uning tarkibiga nafaqat qo'llaniladi.
Uchinchi kombinatorik tenglama, va u, birikmalar soni formulasini oxirgi deb ataladi:
C_n ^ m = n! : ((N - M))! : M!
O'z navbatida, amr va bu qoidani qo'llash emas, masal deb nomlangan birikish.
kombinatorik formulalari oson tushunish uchun kelgan bilan, siz hozir ehtimol klassik ta'rifi borish mumkin. quyidagicha Bu so'z kabi ko'rinadi:
N: P (A) = m.
Bu formulada, m - bir xil va butunlay barcha elementar hodisalar soni - tadbir uchun qulay shart-sharoitlar soni va n bo'ladi.
narsa ko'rib, lekin masalan, voqealar ehtimoli tashkil kabi eng muhim bo'lganlar bo'ladi ta'sir qilmaydi maqolada ko'p ifodalar bor:
P (A + B) = P (A) + P (B) - faqat o'zaro maxsus tadbirlar qo'shib bu teorema;
P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - lekin, bu mos qo'shib uchun faqat.
Tadbir ishlar ehtimoli:
P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - mustaqil voqealar uchun bu teorema;
(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - va bu qaram uchun.
Tadbirlar formula yakunlandi ro'yxati. Ehtimollar nazariyasi bizga teoremasi aytadi Bu kabi ko'rinadi Bayes:
P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n
Bu formula, H _1, H _2, In ..., H _n - gipoteza to'liq to'plami hisoblanadi.
Bu bekatida, namunalar formulalari dastur endi amalda muayyan vazifalar uchun qabul qilinadi.
Agar diqqat bilan matematika har qanday filialiga o'rganish bo'lsa, u mashqlar va namuna yechimlari holda emas. Va Ehtimollar nazariyasi: faoliyat, bu misollar ilmiy hisob tasdiqlovchi ajralmas tarkibiy qismi hisoblanadi.
Misol uchun, bir karta kemaning nominal biri bilan boshlanib, o'ttiz kartalari bor. Keyingi savol. Qancha, bir va ikki bir nominaldagi kartochkalar keyingi joylashgan edi, shunday qilib, pastki chiziq yo'llari?
vazifa Endi u bilan shug'ullanish uchun harakat qilsin, deb belgilangan. Birinchi biz yuqoridagi formuladan olib, bu maqsadda o'ttiz elementlar permütasyonlarından, sonini aniqlash kerak, u P_30 = 30 o'girsa!.
Bu qoida asosida, biz ko'p jihatdan dastasini yotib bor qancha imkoniyatlari bilaman, lekin biz ulardan yechib kerak birinchi va ikkinchi karta keyingi bo'ladi bo'lgan ham bor. Buning uchun, birinchi soniyadan joylashgan bir rivoyatlarida bilan boshlanadi. Bu birinchi xaritasi yigirma to'qqiz o'rinlarni olishi mumkin ekan - birinchi yigirma to'qqizinchi, va o'ttiz ikkinchi ikkinchi karta, kartalar juft uchun yigirma to'qqiz o'rindiqlarga aylanadi. O'z navbatida, boshqalar yigirma sakkiz o'rindiqlarga olib, va har qanday tartibda mumkin. Bu yigirma sakkiz kartalari tartibga solinishi uchun, yigirma sakkiz imkoniyatlari P_28 = 28 deb!
Natijada, biz qarorni ko'rib bo'lsa, birinchi karta ikkinchi qo'shimcha imkoniyat bo'lsa 29 ⋅ 28 olish, deb! = 29!
Shu usul yordamida, siz birinchi karta sekundiga ostida joylashgan holda uchun ortiqcha variantlar sonini hisoblash uchun kerak bo'ladi. Shuningdek 29 ⋅ 28 olingan! = 29!
Bundan quyidagicha deb qo'shimcha imkoniyatlari 2 ⋅ 29!, dastasini 30 yig'ish zarur vositalar esa! - 2 ⋅ 29!. Bu hisoblash uchun faqat qolmoqda.
30! = 29! ⋅ 30; 30 - 2 ⋅ 29! = 29! = 29 - (2 30) ⋅! ⋅ 28
Endi biz bir-dan yigirma to'qqiz birgalikda raqamlar barcha ko'paya kerak, keyin 28 ko'paytiriladi barcha oxirida javob 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32 olingan
Ushbu muammo, siz yengillashtirishni o'n besh jildli qo'yish yo'llari bor qancha topish kerak, lekin sharti faqat o'ttiz hajmi. Ushbu vazifa, oldingi ko'ra, bir oz osonroq qaror. allaqachon ma'lum formulalar yordamida, u o'ttiz joylarda o'n besh hajmi umumiy sonini hisoblash uchun zarur.
A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ⋅ ... 16 = 202 843 204 931 727 360 000
Response, o'z navbatida, 202 843 204 931 727 360 000 ga teng bo'ladi.
Endi bir oz qiyinroq vazifani olib. Siz faqat o'n besh hajmi shu yengillashtirishni yashaydilar mumkin sharti bilan javonlarda o'ttiz ikkita kitob tashkil qilish yo'llari, u erda qancha bilish kerak.
qaror boshidan oldin ba'zi muammolar bir necha yo'llar bilan hal qilinishi mumkin, deb oydinlik istardim, va bu erda ikki yo'li bor, lekin ham bitta va bir xil formula qo'llaniladi.
Biz turli xil yo'llar bilan o'n besh kitoblar uchun tokchani to'ldiring mumkin marta sonini hisoblab qilgan bor, chunki, bu vazifani, siz, avvalgi bir javob olishi mumkin. = ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ 30 ... ⋅ 16 - Bu A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ⋅ ... (15 + 1, 30) o'girdi.
Bu o'n besh qolgan esa, o'n besh kitob joylashtiriladi, chunki ikkinchi qo'shin, formula almashtirishi tomonidan hisoblab chiqilgan. Biz formula P_15 = 15 foydalaning!.
Bu chiqadi, deb A_30 ^ 15 ⋅ P_15 yo'llari, lekin, qo'shimcha ravishda, o'n olti uchun o'ttiz barcha raqamlar mahsulot oxirida o'ttiz bir butun sonlar mahsulotni tutilsa, o'n besh bir raqamlar mahsulot ko'paytiriladi bo'ladi, deb javob qiladi yig'indisi 30!
Lekin, bu muammo bir xil tarzda hal qilinishi mumkin - oson. Buning uchun, siz o'ttiz kitoblar uchun bir tokcha bor, deb tasavvur qilish mumkin. Ularning barchasi bu samolyotda joylashtirilgan, balki Ahvoli bir uzoq, biz yarmida arralash ikki Tokchalar, ikki tur o'n besh bor edi, deb talab, chunki. Bundan ushbu tadbirdan uchun = 30 P_30 bo'lishi mumkin ekan!. Kim kombinatorik uchinchi muammo bir variant hisoblanadi. Siz aynan shu o'ttiz tanlash kerak sharti bilan o'n besh kitoblarni tashkil qilish bor qancha yo'llari bilish kerak. Albatta, kombinatsiyalar soni formulasini qo'llash qiladi qarori uchun. holatidan u shu o'n besh kitoblar tartibi muhim emas, deb ochiq-oydin bo'lishini. Shunday qilib, dastlab siz o'ttiz o'n besh kitoblar birikmalarning umumiy sonini topish uchun kerak. C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520
Bu hammasi. eng qisqa vaqt ichida, bu formula yordamida, masalan, bir muammo, 155,117,520 teng mos ravishda javob, hal qilish.
Yuqorida keltirilgan formuladan foydalanib, bir, oddiy bir vazifa bilan javob topishingiz mumkin. Lekin u aniq ko'rish va harakat kuydiringlar bo'ladi. vazifa bir tobut ichida o'n butunlay bir xil sharlar bor, deb berilgan. Ulardan, sariq to'rt va olti ko'k. ko'zacha bir to'p olingan. Bu ko'k dostavaniya ehtimolini bilish zarur.muammoni hal qilish uchun u, bu tajriba o'n natijalarini, bo'lishi mumkin dostavanie ko'k to'p tadbir A topmoq uchun zarur bo'lgan, o'z navbatida, boshlang'ich va teng ehtimol. Shu bilan bir vaqtda, o'n olti tadbir A. quyidagi formuladan hal qilish uchun, qulay:
P (A) = 6: 10 = 0,6
Bu formulani qo'llash, biz ko'k to'p dostavaniya ehtimoli 0,6 ekanligini bilib oldik.
Kim tadbirlar miqdori ehtimollik formula yordamida hal qilingan variant bo'ladi. sakkiz kulrang va to'rt oq to'p - Shunday qilib, ikki holatlar bor deb Ahvoli berilgan, birinchisi, ikkinchi kulrang va besh oq to'p hisoblanadi. Natijada, birinchi va ikkinchi qutilari ularning birida olgan. Bu sharlar kulrang va oq bo'lgan mahrum ehtimoli qanday topish kerak bo'ladi.
Bu muammoni hal qilish uchun, bu voqea aniqlash zarur.

• 
  P (A) = 1/6: - Shunday qilib, A, biz bir kul birinchi qutidagi to'p bor.
  
• 
  A - ham birinchi qutisiga olingan oq piyoz: P (A) 5/6 =.
  
• 
  - ikkinchi kanal allaqachon qazib kulrang to'p: P (B) 2/3 =.
  
• 
  -: (= 1/3 B R B) bir kul, ikkinchi Sandiqni to'pni oldi.
  

AB »yoki« B.: muammo ko'ra u hodisalar biri sodir zarur bo'lgan formula yordamida, biz olish: P (AB ») 1/18, P (A'B) = 10/18 =.
Endi ehtimollik ko'paytirish formula ishlatilgan. Keyingi, javob topish uchun, siz qo'shib o'z tenglama amal qilish kerak:
P = P (AB »+ A'B) = P (AB») + P (A'B) = 11/18.
Bu, formulalar yordamida, siz bunday muammolarni hal mumkin qilib. qog'oz "ehtimollik nazariyasi", muhim rol o'ynaydi voqealar ehtimoli haqida ma'lumot taqdim etildi. Albatta, hamma narsa sifatida qabul qilingan, lekin taqdim matn asosida, siz nazariy matematikaning bu filiali bilan tanishish mumkin. Ko'rib fan professional biznes, balki kundalik hayotda emas, balki faqat foydali bo'lishi mumkin. Siz bir voqea har qanday ehtimoli hisoblash uchun foydalanishingiz mumkin. matn, shuningdek, muhim bir fan sifatida ehtimollik nazariyasi rivojlantirish tarixida xurmo va ishlari unga qo'yilgan odamlar nomlari ta'sir qildi. Bu odamlar, hatto tasodifiy hodisalarni sanashni o'rgandim, deb aslida olib keldi, qanday qilib inson qiziquvchanlik ekan. Bir marta ular bu shunchaki qiziqish, lekin bugungi kunda bu allaqachon hamma ma'lum. Va hech kim, boshqa ajoyib kashfiyotlar ko'rib chiqilayotgan nazariyasi bilan bog'liq qanday sodir bo'ladi kelajakda bizga nima aytish mumkin. Lekin bir narsa ishonch uchun - o'rganish hali bunga loyiq emas!