Mundarija kirish aniq integrallarni taqribiy hisoblash. Eng sodda interpolyatsion kvadratur formula to‘G’ri to‘rtburchaklar formulasi trapetsiyalar formulasi

Bu aniq integralni Monte-Karlo usuli bilan hisoblash formulasi hisoblanadi.
(1.9) formuladan quyidagini yozish mumkin:

bundan egri chiziqli trapetsiya yuzasi D₁ ni to‘rtburchak (7.5-rasm) yuzasiga nisbati D₁ soxaga tushuvchi tasodifiy nuqtalar sonini to‘rt burchakka tushuvchi tasodifiy nuqtalar soniga nisbatiga taqriban teng bo‘ladi.
(1.9) formula bilan aniq integralni taqribiy xisoblash jadvalini yozamiz.
2-jadval

I	i	I	xi = a + (b – a) i	yi = Mi	Ui= f(xi­)
1 2 . . n	1 2 . . N	1 2 . . N	X1 x2 . . xN	y1 y2 . . yN	f(x1) f(x2) . . f(xN)

Y_i (I =1, 2, …, N) lardan y_ii shartni qanoatlantiruvchilarni tanlash kerak. Bularning soni n ga teng bo‘ladi.

1-masala: integralni (1.9) formula bilan hisoblaymiz.
Bu yerda a=2, b=3, bo‘ladi. Bundan 2x3 x=2+, y=36. Tasodifiy sonlar jadvalidan (, ) 20 tasini olamiz (N=20). Hisoblash jadvali quyidagicha bo‘ladi.

I	i		i	xi=2+ I	yi = 36i			Yi= +
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	0,857 0,499 0,431 0,038 0,651 0,609 0,974 0,098 0,316 0,149 0,070 0,696 0,350 0,451 0,798 0,933 0,183 0,338 0,190 0,449		0,457 0,762 0,608 0,558 0,573 0,179 0,011 0,805 0,296 0,815 0,692 0,203 0,900 0,318 0,111 0,199 0,421 0,104 0,150 0,320	2,857 2,499 2,431 2,038 2,653 2,609 2,974 2,098 2,516 2,140 2,070 2,696 2,350 0,451 2,798 2,933 2,183 2,338 2,190 2,449	16,452 27,432 25,128 20,088 20,628 6,444 0,396 28,980 10,656 29,340 24,912 7,308 32,400 11,448 3,906 7,164 15,155 3,744 5,400 11,520	8,162 6,245 5,910 4,153 7,038 6,807 8,845 4,402 6,330 4,618 4,285 7,266 5,523 6,007 7,829 8,602 4,765 5,466 4,706 5,998	23,319 15,606 14,367 8,464 18,672 17,759 26,305 9,235 15,926 9,924 8,870 15,595 12,979 14,723 21,906 25,230 10,402 12,780 10,503 14,689	31,481 21,851 20,727 12,617 25,710 24,566 35,150 13,637 22,256 14,542 13,155 26,863 18,502 20,730 20,736 33,832 15,167 18,246 15,299 20687

Jadvaldan ko‘ramizki y_ii shartni bajaruvchi (nuqta) qiymatlar soni n=13 ga teng. (1.9) formulaga asosan:

KARRALI INTEGRALLARNI TAQRIBIY HISOBLASHNING MONTE-KARLO USULI

1. integralni D={axb, ₁(x)y₂(x)} soha bo‘yicha hisoblang.
Ko‘rsatilgan D sohadagi [a, b] kesmada uzluksiz bo‘lgan ₁(x), ₂(x) lar ₁(x)s, ₂(x)d tengsizliklarni qanoatlantiradi. O‘zgaruvchilarni quyidagicha almashtiramiz:
x = a + (b - a), u = c + (d – c)
Bu almashtirish bilan D soha, 01, 01 kvadratdan iborat bo‘lgan  sohaga o‘tadi (8.10, 8.11 – rasm)


Aytaylik, n -  sohaga tushuvchi (_i, _i) (I = 1, 2, …, n) tasodifiy nuqtalar soni, N – birlik kvadratga tushuvchi tasodifiy nuqtalar soniga bo‘lsin. Ma’lumki D sohaga tushuvchi n ta (x_i, y_i) nuqta bo‘lsa, bunda
x_i = a + (b - a)_i, y_i = c + (d – c)_i (i = 1, 2, …, n)

Bu sohada o‘rta qiymat haqidagi teoremaga asosan:

(2.37)
bunda  D, S – D soha yuzasi.
f qiymat uchun f(x, y) funktsiyaning D sohaga tushuvchi n ta tasodifiy nuqtalardagi qiymatlarning o‘rta arifmetik qiymatni olamiz:
(2.38)
(8.37) va (8.38) formulalar asosida quyidagi formulaga ega bo‘lamiz:
(2.39)
Bunda S yuza oson hisoblanadigan bo‘lishi kerak. (1.9) formulaga o‘xshash

bunda S – D soha yuzasi. Bu holda
(2.40)
(2.39) va (2.40) formulalardan ikkilangan integralni taqribiy hisoblash formulasini yozamiz:
(2.41)
Bu integralni taqribiy hisoblashda quyidagi jadvaldan foydalanish qulay bo‘ladi:

2.8-jadval

I	i	i	xi=a+(b-a)i	yi=c+(d–c)i	=1(xi)	=2(xi)	F(xi, yi)
1 2 . . . N	1 2 . . . N	1 2 . . . N	x1 x2 . . . xN	y1 y2 . . . yN	1(x1) 1(x2) . . . 1(xN)	2(x1) 2(x2) . . . 2(xN)	F(x1, y1) f(x2, y2) . . . F(xN, yN)

y_i (i = 1, 2, …, N) lar ichidan y_i shartni qanoatlantiruvchilarini to‘playmiz. Ularning soni n ga teng bo‘ladi.
2. (1.9) formulani ikkinlangan integral uchun umumlashtiramiz. integralda integrallash sohasi
D = {axb, ₁(x)y₂(x)}
bo‘lsin. Bu sohada quyidagi tengsizlik o‘rinli bo‘lsin:

Ikkilangan integral:

soha bilan chegaralangan tsilindrik jism hajmini ifodalaydi. Bu tsilindrik jism axb, syd, 0zM bo‘lgan parallelo‘i’ed ichiga joylashadi.
Bu sohada x = a + (b - a)
y = c + (d – c)
z = M
formulalar yordamida yangi , ,  o‘zgaruvchilarga o‘tamiz. Bu holda V soha  sohaga almashadi, bu soha quyidagi tengsizliklar bilan aniqlanadi

Bu  soha birlik kubning ichiga joylashgan. Bu kub =0, =1, =0, =1, =0, =1 tekisliklar bilan chegaralangan.
Demak ikkilangan integralni quyidagicha topamiz:

bunda

 - o‘zgaruvchilar almashinishidan (D sohadan) xosil bo‘lgan soha.
Birlik kub ichiga normal taqsimlangan

(₁, ₁, ₁), (₂, ₂, ₂), …., (_n, _n, _n)

tasodifiy nuqtalar to‘plamini ko‘ramiz. Bu tasodifiy nuqtalardan  sohaga tushuvchilar soni n bo‘lsin. Tasodifiy nuqtalar tekis taqsimlangan bo‘lgani uchun

yoki
x va y o‘zgaruvchilarga qaytib ikkilangan integralni Monte-Karlo usulida taqribiy hisoblash formulasini topamiz:
(2.42)
(2.42) formuladan foydalanish uchun jadval:
2.9-jadval

i	i	i	I	xi=a+(b-a)I	yi=c+(d–c)i	= 1(xi)	zi=Mi	=2(xi)	zi=f(xi, yi)
1 2 . . . N	1 2 . . . N	1 2 . . . N	1 2 . . . N	x1 x2 . . . xN	y1 y2 . . . yN	1(x1) 1(x2) . . . 1(xN)	z1 z2 . . . ZN	2(x1) 2(x2) . . . 2(xN)	F(x1, y1) f(x2, y2) . . . F(xN, yN)

N sonini quyidagicha aniqlaymiz. y_i (i = 1, 2, …, N) lar orasidan quyidagi tengsizlikni qanoatlantruvchilar sonini sanaymiz.

y_i (2.43)
bu u_i larga mos bo‘lgan z_i larni quyidagi shart asosida olamiz:
z₁i (2.44)
Demak, z_i= f(x_i, y_i) ning qiymatlarini (2.43) shartga asosan u_i larga moslarini olish kifoya bo‘ladi.


1-masala. Monte-Karlo usulida ikkilangan integralni hisoblashdagi (2.41) formula asosida integrallash sohasi:
D = {0x1, x/2yx}
bo‘lgan

integralni hisoblang.
Bu misolda a=0, b=1, bo‘lib, intgerallash sohasi birlik kvadratda joylashgani uchun yangi o‘zgaruvchilarga o‘tish shart emas.
Tasodifiy sonlar jadvalidan ketma-ket N=10 ta qiymatni olamiz. Integrallash sohasiga tushuvchi sonlarning sonini aniqlash uchun x_i, y_i lardan x_i/2 < y_i  x_i shartni qanoatlantruvchilar sonini n ni aniqlaymiz. Ular
<y_i<
0,428 < 0,457 < 0,857
0,325 < 0,573 < 0,653
0,258 < 0,296 < 0,516
Demak, N=10, n=3. (1.9) formulaga asosan

Endi aniq yechimni topamiz:

bunda xatolik bahosida ko‘ramizki integrallash sohasiga tushuvchi tasodifiy nuqtalar statistik taqsimot uchun yetarli emas ekan.