Mundarija: kirish asosiy qism bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala uchun Grin funksiyasi

II BOB
CHEKLI SOHALARDA CHEGARAVIY MASALALAR YECHISHNING GRIN FUNKSIYASI USULI.
2.1-§.Chekli sohalar uchun Grin funksiyasi.

Biz bitiruv malakaviy ishda ko‘proq chekli sohalarda korrekt qo‘yilgan chegaraviy masalalar uchun Grin funksiyasini ko‘rish va masala yechimining Grin funksiyasi orqali ifodasini yozish haqida asosiy masalalarni ko‘ramiz.

Bayon qilmoqchi bo‘lgan bu usulda avvalo qaralyotgan tipdagi maxsus masalaning maxsus yechimi topiladi va bu yechim orqali dastlabki masalaning yechimi kvadraturalarda ifodalanadi.
Aytaylik L- parabolik operator bo‘lsun va ushbu masalani qaraylik: sohada
(1)
(2)
(3)
masalaning yopiq sohada regulyar yechimi topilsin.
Faraz qilaylik, har qanday (bu yerda ) nuqta uchun G(M,P,t) funksiya ushbu
(4)
(5)
(6)
- maxsus masalaning da uzluksiz bo‘lgan yechimi bo‘lsun, bu yerda Diraknig - funksiyasi.
Ana shunday aniqlangan funsiyaga (1), (2), (3) masalaning Grin funksiyasi deyiladi. Agar -Grin funksiyasi ma’lum deb faraz qilsak, (1), (2), (3) masalaning yechimi
(7)
kvadraturalarda ifodalanadi, bu yerda
Haqiqatan, qiymatlarda (7) tenglikning o‘ng tarafini M nuqtaning koordinatalari va t bo‘yicha kerakli marta integral ostida differensiallasak,


tengliklarga ega bo‘lamiz.
Shunday qilib, (1), (2), (3) masala -Grin funksiyasinini topishga, hamda (7) tengliklarning o‘ng tarafini nuqtaning koordinatalari va t o‘zgaruvshi bo‘yicha zarur marta integral ostida differensiallashning qonuniyligini tekshirishga olib kelinar ekan.
2. Agar
(8)
tenglamaning (2), (3) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish talab qilinsa, bunday yechim bo‘lib, - (1), (2), (3) masalaning yechimi ((7) fomula bilam aniqlanadi) bo‘lib
(9)
-(8) tenglamaning (2) va shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi.
3. Agar (8) tenglama uchun (3) boshlang‘ich va

chegarviy shartli masala qaralsa, bu masalaning yechimi yuqorida o‘rganilgan masalalar yechimalari yig‘indisidan iborat bo‘ladi.
4. Endi (4), (5), (6) masalaga Fure usulini qulaylik. Unda

qatorga ega bo‘lamiz, bu yerda - xos sonlar, esa L operatorining xos funksiyalari. Qatorning koeffitsientlari boshlang‘ich shart hamda xos funksiyalarning ortogonalligidan foydalanib topiladi, ular:


Demak,

Grin formulasi. Yechiminig integral shakli. Soddalik uchun bitta geometrik o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lgan issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi
(10)

1-chizma
ni chegarasi vaqtga bog‘lik ravishda o‘zgaradigan chekli sohada qaraylik. va xarakteristikalari, hamda va chiziqlar bilan chegaralangan sohani deylik (1-chizma). Aytaylik, chiziqning tengalamsi chiziqning tenglamasi esa bo‘lsun. Hozirda biz bu paragrafda Grin formulasini va (10) tenglama yechimining integral shaklini keltirib chiqaramiz.
Shu maqsadda ushbu
(11)
- qo‘shma tenglamani qaraymiz. Har qanday yetarlicha differensiallanuvchi u va funksiyalar uchun quydagi
(12)
ayniyat o‘rinli.
Bu ayniyatni sohada integrallab,
(13)
-Grin formulasini hosil qilamiz, bu yerda deb sohaning yopiq chegarasi belgilangan.
Faraz qilaylik, nuqta sohaning biror ichki nuqtasi bo‘lsun. Maqsad funksiyaning shu nuqtasidan qiymatini aniqlash.
Agar va funksiyalar mos ravishda (10) va (11) tenglamaning yechimlari bo‘lsa, (13) tenglikning chap tarafi nol bo‘lib, o‘ng tarafi quydagicha yozish mumkin:
(14)

Endi faraz qilaylik, bo‘lib,

bo‘lsun.
Ma’lumki, funksiya (x,t) o‘zgaruvchilar bo‘yicha (10) tenglamani, o‘zgaruvchilari bo‘yicha esa (11) tenglamani qanoatlantiradi.
Endi biror nuqta olamiz va (14) formulada x ni bilan t ni bilan almashtirib, funksyalar uchun qo‘lab quydagiga ega bo‘lamiz:

(15)


Bu tenglikda da limitga o‘tsak, hamda U va funksiyalarning uzluksizligidan bo‘lganda ushbu
(16)
munosabatni hisobga olsak, (10) issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamsining ixtiyoriy yechimini beruvchi
(17)

- asosiy integral formulani olamiz.