Mundarija: kirish asosiy qism bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala uchun Grin funksiyasi

2.3-§. Kesma uchun Grin funksiyasi.

Bu paragrafda (2.4) formula yordamida standart soha uchun Grin funksiyasini yozamiz. Bu holda (10), (2.5) masalada bo‘lib, esa (0,l)- kesmada iborat bo‘ladi. Undan (2.4) formula


ko‘rinishda bo‘ladi, bu yerda
Bu holda, ya’ni, kesma uchun -Grin funksiyasini (uni manba funksiyasi ham deyiladi) akslantirish usuli bilan tuzuladi. Buning uchun musbat manbalarni nuqtalarda, manfiy manbalarni esa nuqtalarda joylasak, manba (Grin) funksiyasi uchun
(3.1)
qatorni olamiz. Bu yerda

-(10) tenglamanig fundamental yechimi.
Fur’ye usuli bilan (0,l) kesma uchun Grin (manba) funksiyasining boshqacha
(3.2)
ko‘rinishida hosil qilish mumkin. Bu, ya’ni (3.1) va (3.2) ifodalarning ekvivalentligini ko‘rsatamiz.
(3.2) formulani (0,l) kesmada funksiyaning sinuslar bo‘yicha Fur’ye qatoriga yoyilmasi
(3.3)
sifatida qarash mumkin.
Endi (3.1) bilan aniqlangan funksiyaning -Fur’ye koeffitsientlarini hisoblaymiz:



Yangi va integrallash o‘zgaruvchilarga o‘tsak


ifodaga ega bo‘lamiz. Bundan esa


bo‘lib unda

almashtirishni kiritsak va


munosabatlardan


ifodani hosil qilamiz. E’tibor bersak, birinchi integral ostida koordinata boshiga nisbatan juft funksiya, ikkinchi integral ostida esa toq funksiya turibti. Shu sababli ikkinchi integral nolga teng birinchi integral esa

formulaga asosan

ifodaga ega bo‘lamiz. Buni (3.3) ga qo‘ysak, (3.2) Grin funksiyasining ikkinchi ifodasini hosil qilamiz.
Demak, (3.1) va (3.2) lar ekvivalent ifodalar ekan. Bu ifodalardan ko‘rinib turubtiki,


XULOSA
Ma’lumki, fizika, mexanika, biologiya va shu kabi fanlardagi amaliy masalalar xususiy hosilali differenasial tenglamalarni yechishga keltiriladi. Shu sababli, bunday tenglamalarni o’rganish muhim masalalardan biridir.
Mazkur bitiruv malakaviy ishida oddiy va xusisiy hosilalai diferensial tenglamalarga oid chegaraviy masalalarni yechish eng maqbul usullardan biri Grin funksiyasini tuzish bilan differensial tenglamalarni integral tenglamalarga olib o’tiladi va nazariy xulosalar hosil qilinadi.
Oddiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni Grin funksiyasi orqali Shturm-Liuvill masalasi va xos qiymatlar masalasiga bog’liqligi, chegaraviy
Ish kirish qismi, ikkita bob, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat.
xusisiy hosilalai diferensial tenglamalarga oid chegaraviy masalalarni yechish Grin funksiyas yordamida yechish , nazariy xulosalar chiqarish bitiruv malakaviy ishda o’rganildi. Masala yechimi ko’rinishi aniqlandi. Bitiruv mlakaviy ish amaliy jihatdan ahamiyatli mavzu b’lib, mazkur ishdan universitet bakalavrlari va magistrlari qo’llanma sifatida foydalanishlari mumkin.