Mundarija kirish i-bob. Tanlanma va uning xarakteristikalari

1.2-misol. A, B va C -ixtiyoriy hodisalar bo’lsin. Bu hodisalar orqali quyidagi hodisalarni ifodalang: D={uchchala hodisa ro‗y berdi}; E={buhodisalarning kamida bittasi ro’y berdi}; F={bu hodisalarning birortasi ham ro’y bermadi}; G={bu hodisalarning faqat bittasi ro’y berdi}.
Hodisalar ustidagi amallardan foydalanamiz:
Demak hodisalarni to’plamlar kabi ham talqin etish mumkin ekan.

Belgilash	To’plam nazariyasidagi talqini	Ehtimollar nazariyasidagi talqini
	Fazo asosiy to’plam	Elementar hodisalar fazosi,muqarrar hodisa
,  	 fazo elementlari	 elementar hodisa
A, A  	A to’plam	A hodisa
	A va b to’plamning yig’indisi va birlashmasi	A va B hodisalar yigindisi (A va B ning kamida biri ro’y berishidan iborat hodisa
	A va B to’plamning kesishmasi	A va B hodisalar ko’paytmasi (A va B ning birgalikda ro’y berishidan iborat hodisa )
A \ B , A B	A to’plamdan B to’plamning ayirmasi	A hodisadan B hodisaning ayirmasi ( A ning ro’y berishi B ning ro’y bermasligidan iborat hodisa)
	Bo’sh to’plam	Mumkin bo’lmagan hodisa
A	A to’plamga to’ldiruvchi	A hodisaga teskari hodisa A ning ro’y bermasligidan iborat
AB   A B  	A va B to’plamlar kesishmaydi	A va B hodisalar birgalikda emas
A  B	A to’plam B ning qismi	A hodisa B ni ergashtiradi
A  B	A va B to’plam ustma-ust tushadi	A va B hodisalar teng kuchli

Hodisalar va ular ustidagi amallarni Eyler-Venn diarammalari yordamida tushun-

tirish (tasavvur qilish) qulay. Hodisalar ustidagi amallarni 1-5 rasmlardagi shak-
llar kabi tasvirlash mumkin.


Hodisalar ustidagi amallar quyidagi xossalarga ega:
 A B  B  A, A B  B A;
 (A B)C  AC  BC, ;
 (A  B)  C  A  (B  C), (A B) C  A (B C) ;
 A A  A, A A  A;
 A    , A  A A   A, A   ;
 A  A  , A A   ;
   ,    , A  A ;
 A  B  A B ;
 A  B  A B va A B  A  B - de Morgan ikkilamchilik prinsipi.
1.3-misol.
a)(A  B)  (A  B) ifodani soddalashtiring.
Yuqoridagi xossalardan foydalanamiz:
(A  B) (A  B)  A A  A B  B  A  B  B  A  A(B  B)   
=A  A   A  A  A
Demak, (A  B) (A  B)  A ekan.
b) A  B  A  A B formulani isbotlang.
A  B  (A  B)    A   B    A   B  (A  A) 
= A   (A  A)  B  A   A B  A B  (  B)  A  A B 
  A  A B  A  A B .

1.4-§. Ehtimollikning statistik, geometrik va klassik ta‘rifi.
Agar chekli ta elementar hodisadan tashkil topgan bo`lib, har bir elementar hodisa ning ehtimoli ni ga teng deb olinsa, elementar hodisalar teng imkoniyatli deyiladi.
Bunday fazoda har qanday hodisaning ehtimolini quyidagicha aniqlash tabiiy:

Agar ga kirgan elementar hodisalar soni m ga teng deb olsak,
﴾1﴿
P(A) funksiya ehtimolning hamma xossalarini qanoatlantirishini tekshirib ko`rish mumkin. Ehtimolning bu ta`rifi uning klassik ta`rifi deyiladi.
Klassik tarif faqat teng imkoniyatli chekli sondagi elementar hodisalardan tashkil topgan fazo uchun kiritilishi mumkin, bu hol klassik ta`rifning qo`llashni chegaralaydi.
Klassik ta`rifdan foydalanib masalalar yechishda kombinatorika nazariyasining ayrim tushunchasi zarur bo`ladi.

1. 
   Turli guruhlardan bittadan tanlab olishlar kombinatsiyasi.
   

ta guruh mavjud bo`lsin. Birinchi guruh ta ( ) elementdan, ikkinchi guruh ta ( ) elementdan elementdan va hokazo, -guruh ta
( ) elementdan tuzilgan bo`lsin. Har bir guruhdan faqat bittadan element olib, nechta elementli guruh tuzish mumkin?
Shunday usulda tuzish mumkin bo`lgan barcha guruhlar soni
(1)
ta bo`ladi.
2. Qaytariladigan tanlashlar soni.
Faraz qilaylik, ta turli elementga ega bo`lgan guruh berilgan bo`lsin. Bu guruhdan bittalab element olib uni o`zimizga belgilab olib, o`rniga qaytarib qo`yamiz va bu jarayonni yana takrorlaymiz. Bu usulda ta elementlar guruhni hosil qilamiz. Bu usulda tanlab olishlar soni ga teng. Bu formulaning isboti (1) dan bevosita kelib chiqadi, buning uchun ta bir xil elementlarga ega bo`lgan guruhni qarash kifoya.
3. O`rinlashtirishlar soni (qaytarilmaydigan tanlahlar). ta turli elementdan o`rinlashtirishlar deb shunday birikmalarga aytiladiki ular bir-biridan tartibi yoki tarkibi bilan farqlanadi va u quyidagicha belgilanadi.
.
Bundan bo`lsa kelib chiqadi.
4. Guruhlashlar soni (kombinatsiyalar). ta turli elementdan elementtadan guruhlashlar deb biri ikkinchisidan hech bo`lmaganda bitta elementi bilan farqlanuvchi birikmalarga aytiladi va bu

ga teng.
5. ta elementli to`plamni birinchi guruhga , ikkinchi guruhda ,…, -guruhda ( ) ta element bo`lgan guruhlarga ajratishlar soni
(2)
ga teng.
6. Ko`paytirish qoidasi. Agar obyektni obyektlar orasidan usul bilan tanlash mumkin bo`lsa, va so`ngra har bir tanlash uchun obyektni usul bilan tanlash mumkin bo`lsa u holda juftliklarni ko`rsatilgan tartibda usul bilan tanlash mumkin.
1-misol. Ikkita o`yin soqqasi tashlanganda tushgan ochkolar yig`indisi 10 ga teng bo`lish ehtimolini toping.
Yechish.Ikkita o`yin soqqasini tashlash tajribasiga mos elementar hodisalar fazosi ( ) ko`rinishidabo`lib u 36 ta elementdan tashkil topadi. Agar bilan ikkita o`yin soqqasi tashlanganda tushgan ochkolar yig`indisi 10 ga teng bo`lish hodisasini belgilasak, u holda , demak, . Ehtimollikning klassik ta`rifiga asosan .
2-misol. 36 tadan iborat kartalar dastasidan tavakkaliga to`rttasi olindi. Shu olinganlar ichida ikkita “tuz” karta bo`lish ehtimolini aniqlang.
Yechish. 36 dona kartadan 4 tasini usulda olish mumkin. Ikkita “tuz” kartani usulda va ikkita tuz bo`lmagan kartani usulda olish mumkin, u holda ko`paytirish qoidasiga asosan hamma qulaylik tug`diruvchi hollar soni bo`ladi.
Shuning uchun
.
sohada tavakkaliga tashlangan nuqtaning sohaga tushish ehtimolini topish talab qilinsin .
Bunda elementar hodisalar fazosi ning barcha nuqtalaridan iborat va kontinium quvvatga ega. Bu holda klassik ta`rifdan foydalanib bo`lmaydi. Tashlangan nuqta sohaga tushsin va uning biror qismiga tushish ehtimoli shu qismining o`lchoviga ( uzinligiga, yuziga, hajmiga ) proporsional bo`lib, ning shakliga va ning qayerida joylashganligiga bog`liq bo`lmasin . Bu shartlarda qaralayotgan hodisaning ehtimoli

formula yordamida aniqlanadi. Bu yerda - sohaning o`lchovi.
Bu formula yordamida aniqlangan p funksiya ehtimolning barcha xossalarini qanoatlantiradi.Buni isbotlashda o`lchovning xossalaridan foydalanish kerak.
4-misol. (Uchrashuv haqidagi masala ) Ikkita A va B talaba soat 14 bilan 15 oralig`ida kelishilgan joyda uchrashishga kelishib oldilar .Birinchi kelgan kishi ikkinchisini 20 minut ko`tadi, kelmasa keyin ketadi. Agar ular soat 14 bilan 15 o`rtasidagi ixtiyoriy momentda kelishi mumkin bo`lib, kelish vaqtlari 14 bilan 15 o`rtasida tasodifi bo`lsa, bu ikki talabaning uchrashish ehtimoli nimaga teng ?
Yechish: talabaning kelish momentini , talabaning kelish momentini bilan belgilaymiz. Ularning uchrashishlari uchun tengsizlik bajarilishi zarur va yetarlidir. va larni tekislikdagi Dekart koordinatalari sifatida tasvirlaymiz . Ro`y berishi mumkin bo`lgan barcha imkoniyatlar tomonlari 60 bo`lgan kvadrat nuqtalaridan va uchrashishga qulaylik tug`diruvchi imkoniyatlar shtrixlangan qismning nuqtalaridan iborat bo`ladi.

Izlanayotgan ehtimol