Mundarija kirish i-bob. Tanlanma va uning xarakteristikalari

2.2-§. To’la ehtimollik va Bayes formulalari
To’la ehtimol formulasi.
To’la gruppa tashkil etadigan, juft-juti bilan birgalikda bo’lmagan hodisalarning gipotеzalarining biri ro’y bеrgandangina ro’y bеrishi mumkin bo’lgan A hodisaning ehtimoli, gipotеzalaridan har birining ehtimolini A hodisaning ehtimoli tеgishli shartli ko’paytmalari yig’indisiga tеng.

Bu еrda

(**) tеnglik «to’la ehtimol formulasi» dеyiladi.
Bayеs formulasi.
A hodisa, hodisalarning to’la gruppasini tashkil etadigan, juft-jufti bilan birgalikda bo’lmagan, hodisalarning (gipotеzlarning) biri ro’y bеrgandagina ro’y bеrishi mumkin bo’lsin. Agar A hodisa ro’ bеrgan bo’lsa, u holda hodisalraning ehtimollarini ushbu Bayеs formulalari bo’yicha qayta baholash mumkin.

Bu yеrda

Misol 1. Davlatimizdan armiya safiga chaqiriluvchi o’smirlardan 50% i 1-viloyatdan, 30% i 2-viloyatdan va 20% 3-viloyatdan to’plandi. 1-viloyatdan har 100 o’smirdan 10 tasi, 2-viloyatdan esa 15 tasi va 3-viloyatdan 20 tasi qandaydir kasallik bilan kasallangan bo’lsin. Armiya safiga chaqirilgan o’smirlardan ixtiyoriy biri tibbiy ko’rikdan o’tkazilganda sog’lom ekanligi aniqlandi. Shu o’smirning 1-viloyatdan bo’lish ehtimoli topilsin.
Yechish: A-o’smirning sog’lom bo’lish hodisasi topilsin. Bu yеrda uchta gipotеza -o’smir 1-viloyatdan, -o’smir 2-viloyatdan, -o’smir 3-viloyatdan chaqirganligi bo’lsa, P(B1)= 0,5; P(B2)=0,3; P(B3)=0,2 o’smirning sog’lom bo’lishining shartli ehtimollari:
PB1(A)=0,9;PB2(A)=0,85; PB3(A)=0,8Tavakalliga chaqirilgan o’smirning sog’lom bo’lish ehtimoli:P(A)=P(B1) PB1(A)+ P(B2)PB2(A)+P( B3)PB3(A)=
0,5*0,9+0,3*0,85+0,2*0,8=0,865
U holda izlanayotgan ehtimol
Pa(B1)=P(B1)PB1(A)/P(A)*0,52.
2.3-§.Limit teoremalar.
Ehtimollar nazariyasi va uning tadbiqlarida ko‘pincha yetarlicha katta sondagi t.m.lar yig‘indisi bilan ish ko‘rishga to‘g‘ri keladi. Yig‘indidagi har bir t.m.ning tajriba natijasida qanday qiymatni qabul qilishini oldindan aytib bo‘lmaydi. Shuning uchun katta sondagi t.m.lar yig‘indisining taqsimot qonunini hisoblash burmuncha qiyinchilik tug‘diradi. Lekin ma’lum shartlar ostida yetarlicha katta sondagi t.m.lar yig‘indisi tasodifiylik xarakterini yo‘qotib borar ekan. Amaliyotda juda ko‘p tasodifiy sabablarning birgalikdagi ta’siri tasodifga deyarli bog‘liq bo‘lmaydigan natijaga olib keladigan shartlarni bilish juda muhimdir. Bu shartlar “Katta sonlar qonuni” deb ataluvchi teoremalarda keltiriladi. Bular qatoriga Chebishev va Bernulli teoremalari kiradi.

• 
  t.m.lar o‘zgarmas son A ga ehtimollik bo‘yicha yaqinlashadi deyiladi, agar uchun
  

munosabat o‘rinli bo‘lsa. Ehtimollik bo‘yicha yaqinlashish kabi belgilanadi.

• 
  t.m.lar ketma-ketligi mos ravishda matematik kutilmalarga ega bo‘lib, son uchun da
  

munosabat bajarilsa, t.m.lar ketma-ketligi katta sonlar qoniniga bo‘ysunadi deyiladi.

Teorema(Chebishev). Agar bog‘liqsiz t.m.lar ketma-ketligi uchun shunday bo‘lib tengsizliklar o‘rinli bo‘lsa, u holda uchun


(1)

munosabat o‘rinli bo‘ladi.

Isboti. bo‘lgani uchun
. U holda Chebishev tengsizligiga ko‘ra:


. (2)

Endi da limitga o‘tsak, . ■

Natija. Agar bog‘liqsiz va bir xil taqsimlangan t.m.lar va bo‘lsa, u holda uchun quyidagi munosabat o‘rinli
. (3)

Bernulli teoremasi katta sonlar qonuninig sodda shakli hisoblanadi. U nisbiy chastotaning turg‘unligini asoslaydi.

Teorema(Bernulli). Agar A hodisaning bitta tajribada ro‘y berishi ehtimolligi p bo‘lib, n ta bog‘liqsiz tajribada bu hodisa marta ro‘y bersa, u holda uchun


(4)

munosabat o‘rinli.

Isboti. indikator t.m.larni quyidagicha kiritamiz: agar i-tajribada A hodisa ro‘y bersa, ; agar ro‘y bermasa . U holda ni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin: . t.m.ning taqsimot qonuni ixtiyoriy i da: bo‘ladi. t.m.ning matematik kutilmasi ga, dispersiyasi . t.m.lar bog‘liqsiz va ularning dispersiyalari chegaralangan, U holda Chebishev teoremasiga asosan: va ; bo‘lgani uchun .
Xulosa

Ushbu kurs ishi hozirgi zamon “Ehtimolliklar nazariyasi va matematik

statistika” kursining Respublikamiz universitetlari va pedagogika institutlari
matematika, tadbiqiy matematika, informatika mutaхasisliklari bo‘yicha qabul
qilingan o‘quv dasturlari asosida yozilgan. Bundan tashqari qo‘llanmadan mazkur
kurs bo‘yicha qo‘shimcha mashg‘ulotlar, talabalar bilan mustaqil ta’lim dasrlarini
o‘tkazishda foydalanish mumkin. Shu maqsadda kitobda keltirilgan hamma
teoremalar matematika nuqtai nazaridan qa’tiy isbotlari bilan ta’minlangan. Ular
bilan tanishish o‘quvchiga hozirgi zamon ehtimolliklar nazariyasida
qo‘llaniladigan metodlar haqida to‘la ma’lumot beradi. Aytilgan fikrning
ahamiyatliligi shundaki, ehtimollik nazariyasi matematik fan sifatida bevosita
tabiiy va ijtimoiy jarayonlarning modellarini o‘rganadi. O‘z navbatida esa, bu
modellar asosiy tushuncha sifatida qabul qilingan “Elementar hodisalar”
tushunchasi orqali ifodalanadi.
Mazkur kurs ishi 2 bob va 7 paragrifdan iborat bo‘lib unda To‘la extimollik va Bayes teoremalariga doir misollar keltirilgan. Qolaversa Ehtimollar nazariyasiga kirish Ehtimollikning predmeti, Ehtimollikning geometrik, klassik, statistic ta’riflari keltirilgan. M
Mazkur kurs ishi ehtimollikka kirishda qolaversa ba’zi ehtimollikka oid masalalarni yechushda qisman yordam beradi.