3-Ma’ruza: Shartli ehtimol. Hodisalarning bog’liqsizligi. To’la ehtimol va Bayes formulalari

3-Ma’ruza: Shartli ehtimol. Hodisalarning bog’liqsizligi. To’la ehtimol va Bayes formulalari.

1. 
   Shartli ehtimol.
   
2. 
   Hodisalarning bog’liqsizligi
   
3. 
   To’la ehtimol va Bayes formulalari.
   

Tayanch so’z va iboralar: Shartli ehtimol,to’la gruppa,to’la ehtimollik,Bayes formulasi,

Shartli ehtimollik

va hodisalar biror tajribadagi hodisalar bo‘lsin.

• 
  hodisaning hodisa ro‘y bergandagi shartli ehtimolligi deb,
  

(1)

nisbatga aytiladi. Bu ehtimollikni orqali belgilaymiz.

Shartli ehtimollik ham Kolmogorov aksiomalarini qanoatlantiradi:
1. ;
2. ;
3. Agar bo‘lsa, u holda

chunki ekanligidan,
1-misol. Idishda 3 ta oq va 7 ta qora shar bor. Tavakkaliga ketma-ket bittadan 2 ta shar olinadi. Birinchi shar oq rangda bo‘lsa ikkinchi sharning qora rangda bo‘lishi ehtimolligini toping.
Bu misolni ikki usul bilan yechish mumkin:

1. 
   A={birinchi shar oq rangda}, ={ikkinchi shar qora rangda}. A hodisa ro‘y berganidan so‘ng idishda 2 ta oq va 7 ta qora shar qoladi. Shuning uchun .
   
2. 
   (1) formuladan foydalanib, hisoblaymiz: ,
   

Shartli ehtimollik formulasiga ko‘ra: .

Shartli ehtimollik formulasidan hodisalar ko‘paytmasi ehtimolligi uchun ushbu formula kelib chiqadi:

(2)

(2) tenglik ko‘paytirish qoidasi(teoremasi) deyiladi. Bu qoidani n ta hodisa uchun umumlashtiramiz:

. (3)

• 
  Agar tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda hodisa hodisaga bog‘liq emas deyiladi va orqali belgilanadi.
  

Agar bo‘lsa, u holda (2) formulani quyidagicha yozish mumkin:
.

• 
  va hodisalar o‘zaro bog‘liq emas deyiladi, agar
  

munosabat o‘rinli bo‘lsa.


Lemma. Agar bo‘lsa, u holda , va bo‘ladi.
Isboti: bo‘lsin. U holda munosabat o‘rinli bo‘ladi. tenglikdan foydalanib, quyidagiga ega bo‘lamiz:

Demak, . Qolganlari ham xuddi shunday isbotlanadi. ■

To‘la ehtimollik va Bayes formulalari.

juft-jufti bilan birgalikda bo‘lmagan hodisalar to‘la gruppani tashkil etsin, ya’ni va . U holda ekanligini hisobga olib, ni ko‘rinishda yozamiz. ekanligidan ekani kelib chiqadi. hodisaning ehtimolligini hisoblaymiz:

. (4)

Ko‘paytirish qoidasiga ko‘ra bo‘ladi. Bu tenglikni (4) ga qo‘llasak,

.

• 
  Agar bo‘lsa, u holda
  

(5)

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu tenglik to‘la ehtimollik formulasi deyiladi.