Mundarija kirish I bob

dA=Fdx=-kxdx

Qayishqoqlik chegarasida x uzunlikka cho’zishda F kuchning bajargan ishi quyidagiga teng:

A===

Mazkur ish kayishkoklik chegarasida x masofaga chuzilgan (yoki sikilgan) prujinaning potensial energiyasiga tengdir:

En = \k*. (6.22)

munosabat i tezlik bilan xarakatlanayotgan jismning kinetik energiyasini ifodalovchi formulaga uxshashdir: jism massasi urnida kayishkoklik koeffitsienti va tezlik urnida prujinaning uzayishi turibdi.

v.Ikki jismning uzaro ta’sir energiyasi. Xar bir jism uzining atrofida gravitatsiya maydoni kosil kiladi. Jismning potensial energiyasi uning boshka jismlar bilan mazkur maydon orkali uzaro ta’sir energiyasidir. Uzaro ta’sirsiz potensial energiya mavjud bulmaydi. Ogirlik kuchi maydonidagi jismning potensial energiyasi mazkur jismning Er bilan gravitatsiya maydoni vositasidagi uzaro ta’sir energiyasi bulib, bu energiyani ifodalovchi (6.21) formula Er sirtidan uncha katta bulmagan balandliklar uchun tugridir, chunki bu formulalardagi g ning kiymati Er sirtidagi muayyan nukta uchun uzgarmas kattalik bulib, ((5.19) ga k ) balandlik (L) oshgan sari uning kiymati Er markazidan xisoblangan masofaning kvadratiga teskari mutanosib tarzda uzgarib boradi.

Endi massalari t( va t2 bulgan ikkita jismni olib karaylik. Ular uzlarining gravitatsiya maydoni orkali uzaro ta’sirlashadi- lar. Butun olam tortishish konuniga kura ikki jismning gravitatsiya maydoni ta’siridagi uzaro tortishish kuchi ularning massalariga mutanosib va ular orasidagi masofaning kvadratiga teskari mutanosibdir:

YUZ

m |/n2

"7“’

bunda u — gravitatsiya doimiysi. Bu ikkala ta’sirlashuvchi jism- ning potensial energiyasini xisoblaylik. SHu maksadda ularning birini kuzgalmas deb, ikkinchisini esa uning gravitatsiyamaydonida kuchadi deb karash mumkin: massasi ti bulgan jismNi (moddiy nuktani) kuzgalmas deb xisoblaylik va massasi t2 bulgan jism (moddiy nukta) gravitatsiya maydonida 7\ radius-vektor bilan aniklanadigan /-vaziyatdan g2 radius-vektor bilan aniklanadigan 2-vaziyatga kuchsin (6.5- raem). Mazkur kuchishda bosib utilgan yulni elementar bulakchalarga xayolan ajrataylik. Ana shu elemeshar yullardan birida konservativ kuchlarning bajargan ishi

dA = Edscosa = — Fdr

buladi. Bunda gravitatsion tortishish kuchlari uchun dscosa=—dr

m,m2

ekanligini disobga oldik. SHunday kilib, dA = —u dr. Mas-

g2

sasi t2 bulgan jiemning /vaziyatdan 2-vaziyatga kuchishida bajarilgan tula ish

4,2= (“У


т, т9

(-v-p)-

'2


(6.23,а)


6.5-р а с м


6.6-р а с м


104

buladi. Bunda tenglik belgisidan keyingi manfiy ishora tortishish kuchlari bulgan konservativ kuchlarning bajargan ishi manfiy ekanligini ifodalaydi. Bu formulani

kurinishda yozsak, 1—2 kuchishda bajarilgan ish massasi t2 bulgan jismning boshlangich va oxirgi vaziyatlariga taallukli bulgan t1t2

(—u—-—) kattaliklarning aiirmasiga teng ekanligini kuramiz.

Gravitatsiya maydonida konservativ kuchlarning bajargan ishi jismning shu maydondagi potensial energiyasi xisobiga, ya’ni jism potensial energiyasining kamayishi xisobiga bajariladi:

A1a = Et-Et (6.24)


£п = — У


m,m2

г

(6.25)

va (6.24) ifodalardan gravitatsiya maydoniga joylashti- rilgan jismning potensial energiyasi uchun kuyidagi formulaga ega bulamiz:

manfiy ishora tortishish kuchlari maydonidagi jismning uzaro ta’sir potensial energiyasini ifodalaydi.

Agar massasi t2 bulgan jism gravitatsiya maydonini xosil kilayotgan t\ massali jismdan cheksiz uzoklashsa (gg=oo), uning potensial energiyasi EP2—O buladi.

formuladan kurinishicha, gravitatsiya maydonida (potensi­al maydonda) jismni bir nuktadan ikkinchi nuktaga kuchirishda konservativ kuchlarning bajargan ishi kuchirish yulining uzunligi va shakliga boglik emas, chunki bu ish kuchirilayotgan jismning boshlangich va oxirgi vaziyatlarini belgilovchi g\ va g2 radius- vektorlargagina boglik. Xakikatan xam, agar massasi t2 bulgan jism massasi t\ bulgan jismning gravitatsiya maydonida (6.6- raem) 1- vaziyatdan 2- vaziyatga dastlab 1a2 yul buylab, sungra esa 12 yul bilan kuchirilganda, dar ikkala xolda xam bajarilgan ish (6.23) formula bilan ifodalanadi va uzaro teng.

Endi.gravitatsiya maydonida jismni berk yul (berk kontur) buylab kuchirishda bajarilgan ish nimaga teng ekanligini aniklaylik. SHu maksadda avval massasi t2 bulgan jismni /-vaziyatdan 2-vaziyatga (6.6- raemga k ) 1a2 yul bilan kuchiraylik, bu xolda konservativ kuchlarning bajargan ishi manfiydir; sungra usha jismni 2-vaziyatdan /- vaziyatga 2Ы yul buylab kuchiraylik, bunday kuchirishda konservativ kuchlar jism ustida musbat ish bajaradi. Ikkala xolda xam bajarilgan ish, yukorida kurgani- mizdek, (6.23) formula bilan aniklanganligi uchun, son jixatdan uzaro teng, lekin mazkur ishlar ishoralari bilan bir-biridan fark kiladi, ya’ni

A|a2= —A2ы- .

Konservativ kuchlarning 1a2 va 2Ы yullar buylab (berk yul buylab) bajargan tula ishi shu ishlarning yigindisiga teng:

A\a2 +A2ya =0.

105

Demak, konservativ kuchlarning berk yul (berk kontur) buylab jismni kuchirishda bajargan ishi nolga teng. Xakikatan xam jismni berk yul buylab kuchirganda, u avvalgi urniga (/-vaziyatga) kaytib keladi, binobarin, ri=r2 bulganligi tufayli (6.23)ga asosan Ll2i =0 buladi. Bu natija odatda kuyidagicha yoziladi:

$Fds = 0, (6.26)

bu erda T—berk yul (kontur) buylab kuchirishda jismga ta’sir etuvchi konservativ kuch, ds— mazkur yulning elementar bulagi.

§. POTENSIAL ENERGIYA VA KUCH ORASIDAGI BOGLANISH

Jismlarning uzaro ta’siri bir tomondan kuch orkali, ikkinchi tomondan potensial energiya orkali ifodalanadi. SHu boisdan potensial maydondagi jismning potensial energiyasi bilan mazkur maydon tomonidan unga ta’sir etuvchi kuch orasida muayyan boglanish mavjud bulishi kerak. SHu boglanishni topaylik. Bizga ma’lumki, potensial maydonda jismni bir nuktadan ikkinchi nuktaga kuchirishda konservativ kuchlarning bajargan ishi jism potensial energiyasining kamayishi xisobiga bajariladi:

L 12 = £"p1 Ep2 = D£p,

bunda £p1 va £p2 — mos ravishda potensial maydonning birinchi va ikkinchi nuktalaridagi jismning potensial energiyalarn. U xolda jismni ds ga kuchirishda konservativ kuchlarning bajargan'ishi:

Fds=-dEn (6.27)

buladi. Bu erdagi manfiy ishora bajarilgan ish potensial energiyaning ds yunalishida kamayishi xisobiga bulayotganini bildiradi. Jismga ta’sir etuvchi kuchning kuchish yunalishiga proeksiyasini Fs deb belgilasak, (6.27) tenglikning chap tomoni kuyidagicha yoziladi:

Fds — Fdscosa = Fsds.

SHunday kilib, (6.27) tenglikni kuyidagicha yozish mumkin:

Fsds = —dEn.

Bu tenglikdan kuchning kuchish yunalishiga proeksiyasi uchun kuyidagiga ega bulamiz:

dE„

F-—ir <6-28»

F,


дЕп

—-• F

дх ’ У


дЕ„


ду ’ 2 dz

10b

(6.29)

(bunda d/ds belgisi s yunalish buyicha olinayotgan xususiy xosilani ifodalaydi). Potensial energiya (£p) jism vaziyatining funksiyasi bulganligi tufayli (6.28) munosabat fazodagi ixtiyoriy yunalish uchun, masalan, Dekart koordinata uklarining X, Y, Z yunalishlari uchun xam urinlidir:

SHuni esda tutish kerakki, (6.28) va (6.29) formulalardagi £,, Fx, Fu va Rg kuchlar potensial maydonda jismga ta’sir etuvchi konservativ kuchlarning moe yunalishlardagi proeksiyalarini ifodalaydi. F vektor uning X, Y, Z uklari buyicha tashkil etuvchilari orkali:

(6.30)

F = FxI-\-FyJ+Fzk

tarzda ifodalanishini e’tiborga olsak, (6.29) ga asosan (6.30) teng- lik kuyidagi kurinishga ega buladi:

(6.31)

_ dE„_ dE„ _ dEp _

__ dx 1~*~ du

дЕ„ _ дЕ„

"/+^ = grad£n

(6.32)

K,avs ichidagi ifoda grad£n deb belgilanadi:

va £„ ning gradienti deb ukiladi. , SHunga kura (6.31) tenglik kuyidagicha yoziladi:

£ =—grad E„. (6.33)

(6.32) va (6.33) tengliklarning chap tomonlari vektor kattalik bulganliklari uchun ularning ung tomoni xam vektor kattalikni ifodalashi kerak. SHunday kilib, jismning potensial energiyasi skalyar kattalik bulib, uning gradienti esa vektor kattalikdir.

va (6.33) ifodalardagi manfiy ishora T kuchning yunalishi jism potensial energiyasining kamayishi tomonga yunalganligini bildiradi. (6.28), (6.29) va (6.33) formulalar jismning potensial energiyasi bilan unga ta’sir etuvchi kuch orasidagi boglanishni ifodalaydi. Oxirgi formula kuyidagicha ukiladi: potensial maydonda jismga ta’sir etuvchi kuch uning potensial energiyasining teskari ishora bilan olingan gradientiga teng. Boshkacha aytganda, jism potensial energiyasining gradienti, biror yunalish buyicha masofa uzgarishi bilan jism potensial energiyasining uzgarishini kursatadi, ya’ni potensial maydonda jismni bir nuktadan ikkinchi nuktaga kuchirishda uning potensial energiyasining uzgarishi kanchalik katta bulsa, shu yunalishda jismga ta’sir kiluvchi kuch xam shunchalik katta buladi.

Misol tarikasida chuzilgan (yoki sikilgan) prujinaning energiyasi bilan unga ta’sir etuvchi kuch orasidagi boglanishni olib karaylik. Agar prujina chuzilgan xolatiga nisbatan x uzunlikka uzaygan bulsa, uning potensial energiyasi (6.22) formulaga asosan

En = \kf

ekanligi bizga ma’lum, bu erda k kayishkoklik koeffitsienti bulib, karalayotgan prujina uchun uzgarmasdir. Ravshanki, chuzilgan yoki sikilgan prujinaning potensial energiyasi bitta koordinataga,

107

bizning misolimizda x koordinataga botlikdir. Oxirgi tenglikni

дЕ„


дх


д

dx

(yfex2) = — kx

ga kuyib, kayishkoklik chegarasigacha chuzilgan prujina tomonidan ta’sir etayotgan konservativ kuch

ekanligiga ishonch xosil kilamiz; bu esa Guk konunining uzginasi- dir.

§. ICHKI MEXANIKAVIY ENERGIYA

Bir-biri bilan ta’sirlashuvchi bir nechta (umumiy xolda p ta) jismdan iborat mexanikaviy tizimni olib karaylik. Bunday tizimning xarakatini uning inersiya markazining xarakati orkali tavsiflash mumkin. Mexanikaviy tizimning xarakati, binobarin, uning kinetik energiyasi xar xil sanok tizimlarida turlichadir. Tizim xarakatini ikkita K va K' sanok tizimlarida olib karaylik. Xuddi 6.4- § da kurib utganimizdek K' sanok tizimi X ukiga parallel ravishda K tizimga nisbatan uzgarmas vo tezlik bilan xarakatlana- yotgan bulsin (6.3- rasmga k.). K' sanok tizimining koordinata boshi sifatida mexanikaviy tizimning inersiya (massa) markazini tanlasak, u xolda K sanok tizimiga nisbatan mexanikaviy tizimning xarakatini ikki xil xarakatdan iborat deb karash mumkin: 1) mexanikaviy tizimning K ga nisbatan xarakati, ya’ni mexanika­viy tizim inersiya markazining K ga nisbatan xarakati; 2) mexani­kaviy tizim tarkibidagi jismlarning (moddiy nuktalarning) inersiya markazita nisbatan xarakati.

SHunga kura mexanikaviy tizimning energiyasini xar ikki xil energiyaning yigindisidan iborat deb karash lozim buladi: ' 1) inersiya markazining K ga nisbatan ilgarilanma xarakatidagi kinetik energiyasi; 2) tizimning ichki mexanikaviy energiyasi. Tizimning ichki mexanikaviy energiyasi (Ep) uning tarkibidagi barcha jismlarning inersiya markazita nisbatan xarakatidagi (M-tizimdagi) kinetik energiya bilan ularning uzaro ta’sir potensial energiyasining yigindisiga teng:

Ei = 1^+Ep, (6.34)

m.v. ^

bunda 2-—^ — tizimdagi barcha jismlarning inersiya markazita

i *

nisbatan xarakatidagi kinetik energiyalarining yigindisi, Ep — mexanikaviy tizim jismlarining uzaro ta’sir potensial energiya­si.

6.3- § da keltirilgan muloxazalarni takrorlab mexanikaviy tizimning energiyasi uchun kuyidagi ifodaga ega bulamiz:

E = Ei + ±-t$. (6.35)

108

YUkorida aytilganlarga kura bu formuladagi ikkinchi kushiluvchi x,ad mexanikaviy tizim inersiya markazining K ga nisbatan ilgarilanma xarakatidagi kinetik energiyasini ifodalaydi. Demak, mexanikaviy tizimning energiyasi uning ichki energiyasi bilan inersiya markazining ilgarilanma xarakatidagi kinetik energiyala- rining yigindisiga teng ekan.