Mundarija kirish I bob

§. MEXANIKAVIY ENERGIYANING SATSLANISH SONUNI

Jism (moddiy nukta) konservativ kuchlar maydonida joylashgan bulsin, ya’ni jismga konservativ kuchlardan boshka kuchlar ta’sir kilmayotgan bulsin. Konservativ kuchlarning elementar dr kuchishda bajargan ishi (6.20) va (6.24) ga asosan jism potensial energiyasi- ning kamayishiga teng:

dA = —dEn.

Ikkinchi tomondan, jismning dr masofaga kuchishida konservativ kuchlarning bajargan ishi (6.6) ga kura uning kinetik energiyasining ortishiga teng:

dA = dE/(.

Bu ikki tenglikdan:

dEK=-dEn

yoki

d(EK + E„) = 0 (6.36)

ni xosil kilamiz. Oxirgi ifodadagi kinetik va potensial energiyalarning yigindisi E = Ets + Ep jismning tuda energiyasi deyiladi; (b.Zb)dan

E = Ek-\-Ep = const (6.37)

ekanligi kelib chikadi. Bu formula bitta jism uchun energiya- ning saklanish konunini ifodalaydi: konservativ kuchlar maydonida uarakatlanayotgan jismlarning tula mexanikaviy ener­giyasi uzgarmaydi. Bu konundan shu xulosa kelib chikadiki, konservativ kuchlar maydonida kinetik energiya potensial energiyaga aylanishi va aksincha, potensial energiya kinetik energiyaga aylanishi mumkin, lekin jismning tula energiyasi uzgarmaydi. YA’ni konservativ kuchlarning ta’sirida jismning potensial energiyasi kanchaga kamaysa, uning kinetik energiyasi shunchaga ortadi va aksincha.

Misol tarikasida N balandlikdan boshlangich tezliksiz erkin tushayotgan jismni olib karaylik. Uning pastga karab xarakatlann- shiga sabab — unga ta’sir etuvchi konservativ kuchlarning (Erning gravitatsiya maydoni tomonidan ta’sir etuvchi kuchning) mavjudligi- dir. Boshlangich xodatda (N balandlikda) uning kinetik energiyasi

109

napga teng, potensial energiya esa (6.21) ga asosan mgH ga teng. Ma’lumki, boshlangich tezliksiz N balandlikdan tushgan jismning oxirgi tezligi:

v=^2gH -

va bu tezlik bilan xarakatlanayotgan jismning kinetik energiyasi

g-. mv Ek~ 2 '

Oxirgi ikki tenglikdan kuyidagiga ega bulamiz:

EK=^f = ^(^j2iH)=rngH.

Jism Erga tushganda uning potensial energiyasi nolga teng bulishini nazarda tutsak, oxirgi formuladan shu xulosa kelib chikadiki, jismning dastlabki potensial energiyasining x,ammasi unga teng bulgan kinetik energiyaga aylangan.

Erkin tushayotgan jism energiyasining bir kismi kinetik energiya, kolgan kismi potensial energiyadir. SHunday kilib, ogirlik kuchi maydonida xarakatlanayotgan jismning tula energiyasi kuyidagicha ifodalanadi:

E = + mgh . (6.38)

Endi bir-birlari bilan konservativ kuchlar (ichki kuchlar) orkali uzaro ta’sirlashuvchi p ta jism (moddiy nukta) dan iborat tizimni olib karaylik va mazkur tizim tashki konservativ kuchlar, masalan, gravitatsiya maydoni tomonidan ta’sir etuvchi kuchlar ta’sirida bulsin (ya’ni tizim jismlari uzaro ta’sirlashishlaridan tashkari ularga tashki konservativ kuchlar xam ta’sir etayapti). Bu kuchlar ta’sirida tizimning vaziyati va undagi jismlarning bir-biriga nisbatan joylashishi uzgaradi. Natijada mazkur kuchlar tizim ustida muayyan ish bajaradi.

Tashki konservativ kuchlarning bajargan elementar ishi tashki kuch maydonidagi tizim potensial energiyasining kamayishi xisobiga buladi:

dA'= —dE„.

Uzaro ta’sir tufayli vujudga keladigan ichki kuchlarning bajargan elementar ishi (dA") jismlarning uzaro ta’sir potensial energiyasining kamayishi (— dE"„) ga teng:

dA" = - dE"„.

formulaga asosan barcha kuchlarning bajargan elementar ishi tizimdagi jismlar kinetik energiyalarining ortishi (dE%) ga sarf buladi, ya’ni:

dA' + dA" = dEK. (6.39)

Tizimning kinetik energiyasi uning tarkibidagi jismlar kinetik energiyalarining yigindisiga teng:

1 yu

YUkorida ksltirilgan (6.39) tenglikning chap tomonidagi elementar ishlarni ularga tegishli energiya bilan almashtiramiz:

-dE'„-dE"a = dEK.

Bu tenglikni kuyidagicha yozamiz:

d(EK + E'n + EJ= 0. (6.40)

Tizimning tula mexanikaviy energiyasi uning kinetik va potensial energiyalarining yigindisiga teng:

E = EK + Ep' + Ep".

(6.40) tenglikdan

E = EK+E'n + E\ = const (6.41)

ekanligi kelib chikadi va u tizim mexanikaviy energiyasining saklanish konunini ifodalaydi: fsщat tashkoy va ichki konservativ kuchlarning ta’sirida bulgan jismlar tizimining tula energiyasi uzgarmay k,oladi. ,

Agar jismlar tizimi berk bulsa, ya’ni unga tashki konservativ kuchlar ta’sir etmasa, tizim tula energiyasining saklanish konuni

=const (6.42)

tarzda ifodalanadi va kuyidagicha ta’riflanadi: konservativ

kuchlar vositasida uzaro ta’sirlashuvchi jismlardan iborat bulgan berk tizimning tula mexanikaviy energiyasi uzgarmay k,oladi.

SHuni xam ta’kidlash lozimki, tizimga nokonservativ kuchlar xam ta’sir kilayotgan bulsa, u xolda uning tula mexanikaviy energiyasi saklanmaydi. Bu xakda kuyida fikr yuritamiz.

$. ENERGIYANING UMUMFIZIKAVIY SAKLANISH KONUNI

YUkorida mexanikaviy energiyaning saklanish konunini kurib utganimizda, biz fakat konservativ kuchlar ta’sir etadigan tizimni olib karagan edik. Aksariyat xollarda konservativ kuchlardan

tashkari tizimga nokonservativ kuchlar xam ta’sir etadi. No­konservativ kuchlarga, xususan, ishkalanish kuchlari va muxitning karshilik kuchlari kiradi. Bu kuchlarning bajargan ishi manfiydir. SHuning uchun nokonservativ kuchlar mavjud bulganda tizimning tula mexanikaviy energiyasi kamayib boradi va bunday kamayishi energiyaning dissipatsiyasi (isroflanishi) deyiladi. Ener­giyaning bu kamayishini tashki manbadan uzluksiz tuldirib turilmasa, ishkalanish kuchlari mavjud bulgan tizimda (masalan, nakliyot vositalarida) xarakat oxiri tuxtaydi, ya’ni energiyaning yukotilishi kuzatiladi. Demak, dissipativ kuchlar mavjud bulgan­da, tizimning tula mexanikaviy energiyasi saklanmaydi. Bundan energiyaning saklanish konuni buzilayapti degan xulosa kelib chikmaydi: ishkalanish mavjud bulganda mexanikaviy energiyaning boshka turdagi energiyaga aylanishi sodir buladn, xususan, mexanika­viy energiya issiklik energiyasiga aylanadi Issimik energiyasi esn

111

jism tarkibidagi atom va molekulalarning tartibsiz darakatidan iborat energiyadir (jism tarkibidagi atom va molekulalarning tartibsiz darakatini bizning sezgi a’zolarimiz issiklik tarzida idrok etadi). •

Nokonservativ kuchlar ta’siri tufayli berk tizimda mexanika- viy «energiyaning yukolishi»da damma vakt mazkur «yukolish»ga teng bulgan mikdorda boshka turdagi energiya ajralib chikadi. Elektr energiyasi ishlab chikiladigan kurilmalarda kupincha mexanikaviy energiyaning (masalan, okar suv energiyasining) elektr energiyasiga aylanishini kuzatamiz.

Fizika tarixida shunday dollar dam bulganki, tajribadan olingan natijalarda energiyaning saklanish konuni bajarilma- yotganga udshab tuyulgan. Masalan, atom yadrolarining beta-emirilish dodisalarida energiya va impulsning saklanish konunining «buzilishi» kuzatilgan. Keyinchalik, fiziklarning mantikiy mulo- dazalari shunday dulosaga olib keldiki, beta-emirilishda elektron bilan birga yadrodan boshka.bir noma’lum zarracha uchib chikishi va bu zarracha uzi bilan birga olib ketayotgan energiya bu jarayonda etishmayotgan energiya mikdoriga teng bulishi kerak. Bunday dadil dulosaga kelish uchun makroskopik medanika konunlaridan chetga chikadigan tasavvurlarga tayanishga tugri keldi. Utkazilgan kushim- cha tajribalar esa mazkur xulosani tasdikladi (zarracha neytrino degan nom oldi).

SHunday kilib, oddiy mexanikaviy dodisalarga nisbatan yana dam kengrok mikyosdagi fizikaviy dodisalarni kamrab olgan energiya­ning saklanish konuni karor topdi. Bu konun energiyaning umumfizikaviy saklanish konuni deyiladi. Bu konunga asosan, energiya >;ech k,achon yutsdan bor bulmaydi va mavjud energiya yuщolmaydi, u fak,at bir turdan ikkinchi turga aylanishi mumkin. Energiyaning umumfizikaviy saklanish konuni mexanika dodisala- rinigina uz ichiga olib kolmay, balki mexanika konunlarini kullash mumkin bulmagan dodisalarni dam kamrab oladi. Bu konun mexanika konunlaridan keltirib chikarilmaganligini tushunish kiyin emas: u keng mikyosdagi tajriba natijalarini umumlashtirishdan kelib chikkan mustakil konundir.

§. SAKLANISH KONUNLARI DAMDA FAZO VA VAKT SIMMETRIYASI

Odatda simmetriya deganimizda buyumlar, narsalar va tirik jonivorlar shaklining simmetriyasi kuz oldimizga keladi. Masa­lan, tayyoralar, kemalar, kristallar, kushlar, kapalaklar va boshkalarning shakli muayyan simmetriyaga ega, ya’ni ularning chap va ung tomonlari urta chizikka nisbatan deyarli bir-birini takrorlay- di. K,uyida simmetriya deganimizda, bizning kundalik dayotimizda uchrab turadigan simmetriyaga nisbatan boshka ma’nodagi simmet­riya— tabiat konunlari simmetriyasi dakida ran boradi. Masalan, fizika konunlarining simmetriyasi deganda ba’zi bir almashti- rishlarga nisbatan ularning invariant ekanligi tushuniladi. Fazo va vaktning simmetriyasi deganimizda. vaktning bir jinsliligi, fazoning esa bir jinsliligi va uning izotropligi tushuniladi. Bu tushunchalar kiritilishi bilan vaktning bir jinsliligi, fazoning

112

esa bir jinsliligi va izotropligini kanday tasavvur kilish mumkin, degan savolning tugilishi tabiiydir.

Vaktning bir jinsliligi —utayotgan vaktning turli paytlari bir-biridan fark kilmaydi demakdir. SHu boisdan, kupincha, vaktning barcha paytlari uzaro mukobil, ya’ni ular teng xukukli degan ibora kullaniladi. Amaliy jixatdan vaktning bir jinsliligi shunda namoyon buladiki, bir xil sharoit yaratilganda, berk tizimning xarakat konunlari vakt utishi bilan uzgarmaydi. Masalan, erkin tushayotgan jismning xarakat konuni bu xarakat kachon sodir bulganligiga boglik emas: 10 metr balandlikdan boshlangich tezliksiz erkin tushayotgan jismning oxirgi tezligini ulchash buyicha istalgan paytda utkazilgan tajriba bir xil natija beradi va bu tezlik vaktning barcha paytlari uchun v= d/2 g h «

«14 m/s bulib chikadi (bu natijalarda jism va Er berk tizimni tashkil etadi). YAna bir misol: ba’zi bir tajriba natijalari biror vakt utgandan keyin kayta tekshirilib kuriladi va kupincha bir xil natija olinadi. Demak, vaktning bir jinsliligi turli paytlarda utkazilgan tajriba natijalarini takkoslab kurishga imkon beradi.

Fazoning bir jinsliligi deganimizda uning barcha nuktalari bir-biriga mukobil ekanligi tushuniladi, ya’ni fazoning Xamma nuktalarining xususiyatlari bir xil. Amaliy jixatdan fazoning bir jinsliligi shunda namoyon buladiki, jismlarning uzaro joylashishlari va tezliklarini uzgartirmasdan berk tizimni bir joydan ikkinchi joyga kuchirsak, uning xususiyatlari va xarakat konunlari uzgarmaydi: avvalgi joyda sodir buladigan xodisa bir xil sharoit yaratilganda fazoning ikkinchi joyida xam uzgarishsiz takrorlanadi. Bu erda «bir xil sharoit yaratilganda» degan ibora nimani anglatishini kuyidagi misoldan tushunib olish mumkin: osma soat tebrangichining tebranish davrini ulchayotgan bulaylik. Tebran- gichning uzunligi va boshka kismlari uzgarmaganda uning tebranish davri erkin tushish tezlanishi (g) ning kiymatiga boglik (ma’lumki, g ning kiymati Erning xar xil nuktalari uchun xar xil kiymatga ega bulib, 9,78 m/s2 dan 9,83 m/s2 gacha uzgaradi). Soatni butun xolda va uziga parallel kilib fazoning bir joyidan ikkinchi joyiga kuchirganimizda mazkur joylarda g ning kiymati bir xil bulsa (bir xil sharoit), soat tebrangichining tebranish davri ikkala joyda xam bir xil kiymatga ega buladi. g ning kiymatlari bir xil bulgan fazoning boshka nuktalari uchun xam tebrangichning tebranish davri ulchash xatoliklari chegarasida avvalgi nuktalarda olingan kiymatlarga teng bulib chikadi. Bu natija fazoning barcha nuktalarining xususiyatlari bir xil ekanligining isboti, ya’ni fazoning bir jinsliligining namoyon bulishi demakdir.

Fazoning izotropligi shuni bildiradiki, undagi ixtiyo- riy nuktaga nisbatan olingan barcha yunalishlarning xususiyatlari bir-biridan fark kilmaydi, ya’ni fazoda kaysi yunalishni olib karamaylik, ular bir-biriga mukobil. Mazkur mukobillik shunda namoyon buladiki, bir xil sharoit yaratilganda jismlardan tashkil topgan berk tizimni (tadkikot kurilmalarini, ulchash asboblarini,

8—467 113 laboratoriyani va boshkalarni) istalgan burchakka burilsa, bu burish barcha kelgusi xodisalarning borishiga ta’sir etmaydi. Masalan: a) oynaijaxonni biror burchakka bursak (antennaning vaziyati uzgarmaganda) uning kursatishida *ech kanday uzgarish sodir bulmaydi; b) nuktaviy manbadan chikayotgan tovush tulkinlari barcha yunalishlar buyicha bir xil tarkaladi.

a. Impulsning saklanish konu ni fazoning bir jinsliligining natijasi ekanligi. Impulsning saklanish konuni berk tizim uchun bajariladi va berk tizimda fakat ichki kuchlargina mavjud. Bu konunni keltirib chikarishda yukorida (4.1-§ ga k ) Nyutonning ikkinchi va uchinchi konunlaridan foydalanilgan edi. Nyutonning uchinchi konuniga kura berk tizimdagi ichki kuchlarning vektor yigindisi nolga teng bulishi kerak, ya’ni:

!?„+ 2 T„ = ?l2 + ?2i+Ti3 + ?3i+ ». =0 (<=*=/)• (6.43)

'. / './=i

Keyinchalik ma’lum buldiki, fazoning simmetriya xususiyatlari- dan, ya’ni uning bir jinsliligidan va Nyutonning fakat ikkinchi konunidan foydalanib xam impulsning saklanish konunini keltirib chikarish mumkin ekan. Buning uchun berk tizimni uziga parallel ravishda fazoning bir nuktasidan ikkinchi nuktasiga shunday kuchiramizki, undagi jismlarning uzaro joylashishi va tezliklari avvalgiday kodein. Kuchishni g bilan belgilasak, mazkur kuchishda bajarilgan ish kuyidagi:

L = / \ g

\ 1,1 1.1 /

skalyar kupaytma tarzida ifodalanadi. Bu kuchishda (g^=0) berk tizimda xech narsa uzgarmagani tufayli fazoning bir jinsliligi­dan shu xulosa kelib chikadiki, mazkur kuchishda bajarilgan ish nolga teng, ya’ni

A= (2T11 + 2,T11u = 0 SFP. (6.44)

Tizimning muayyan g^=0 masofaga kuchirilganini nazarda tutsak, (6.44) tenglikdan

+ IFP

kelib chikadi, ya’ni fazoning bir jinsliligidan berk tizimdagi ichki kuchlarning vektor yigindisi nolga teng, degan xulosaga kelamiz. Binobarin, Nyutonning ikkinchi konunidan va fazoning bir jinsliligidan (Nyutonning uchinchi konunidan foydalanmas- dan)

(?'+,?') -if*-0

munosabatga ega bulamiz. Bundan impulsning saklanish konuni ((4.4) ifodaga k.)

2D = E/l,u, = const

::if> chikl chi , ( .

Demak, impulsning saklanish konuni fazoning bir jinsliligi- ning natijasidir, chunki fazoning ana shu xususiyati tufayli berk tizim bir butun xolda kuchirilganda uning mexanikaviy xususiyatla- ri uzgarishsiz saklanadi. ,

b. Impuls momentining saklanish konuni bilan fazoning izotropligi orasidagi boglanish. Fazoning izotropligi shunda namoyon buladiki, berk tizimni ixtiyoriy biror burchakka bursak, bu burish uning fizikaviy xususiyatlariga va xarakat konunlariga ta’sir etmaydi. _

Tizimni biror kuzgalmas O nuktaga nisbatan dtp burchakka bursak, bu burishda O nuktadan g, masofada turgan i- jismga /- jism tomonidan ta’sir etuvchi ichki kuchning kuch momenti kuyidagicha ifodalanadi ((5.7) ifodaga k):

CH = \P. F,)-

i- jismni kuzgalmas O nuktaga nisbatan dtp burchakka burishda ichki kuchlarning bajargan ishi

dAt = M,dq

tarzda ifodalanadi (IX bobga k., (9.24) ifoda). Jismlarga ta’sir etayottan_ichki kuchlarning O nuktaga nisbatan olingan kuch momentini Mi M2, .... Mp bilan belgilasak xamda tizimdagi barcha

jismlar tezliklarining yunalishlarini va ron^ kiymatlarini uzgartirmagan xolda uni O nuktaga nisbatan dq>(d(p=^0) burchakka bursak, mazkur burishda bajarilgan ish:

dA = (Ml+M2+ •• .+Mn)dy (6.45)

buladi. Fazodagi barcha yunalishlar bir xil xususiyatga ega bulganliklari tufayli mazkur burish uchun ish sarf kilinmaydi, ya’ni:

(A?, +L42+ ... +D,Mf = 0 . (6.46)

SHartga kura d


Mt+M2+ .. .+Mp = Щ = 0. (6.47)

I

Demak, fazoning izotropligidan berk tizimdagi ichki kuchlar momentlarining vektor yigindisi nolga tengligi (Nyutonning uchinchi konunidan foydalanmasdan) kelib chikadi. Momentlar tenglamasi ((5.20) ifodaga k )

dt , ,

ga kura va (6.47) dan

4txl‘=°

dt,

115

2 L, = const

(6.48)

degan natijaga kelamiz. Bundan kurinadiki, berk tizim impuls momentining saklanish konuni fazoning izotropligining natijasi- dir, chunki fazoning ana shu xususiyati tufayli berk mexanikaviy tizim bir butun xolda ixtiyoriy biror burchakka burilganda uning mexanik xususiyatlari uzgarmaydi.


дЕ„


дЕ„


F =


дх.


Fy =


дУ, '


F, =


дЕ„


dz.

v. Energiyaning saklanish konuni vaktning bir jinsliligining natijasi ekanligi. Energiyaning saklanish konunining vaktning bir jinsliligi bilan boglikligini asoslash uchun potensial m'aydonda joylashgan p ta jismdan iborat berk tizimni olib karaymiz. Biror /- jismga potensial maydon tomonidan ta’sir etuvchi kuchning koordinata uklaridagi proeksiyalari:

tarzda yoziladi ((6.29) ifodaga k.). Mazkur tengliklarning xar birining chap tomonlarini kuchish vektori dr, ning koordinata uklaridagi proeksiyalari dx„ dy„ dz, ga mos ravishda kupaytirib,

dEp dEp

Fxdx‘ = dxn Fy,dy- = du‘ dy-

*£n,

Fzdz, — — dz,

ga ega bulamiz. Bu tengliklarning chap va ung tomonlarini mos ravishda kushib chikib, olingan natijani tizimdagi p ta jism uchun yozamiz:

/ dE„ dEp dE„ \

2 (Fxdx, + Fydy, + Fzdz,) = — 2 dx, + dy, + dztJ. (6.49)

Bu tenglikning chap tomonidagi yigindi ishorasi ostida turgan ifoda, ravshanki, potensial maydon tomonidan /- jism ustida bajarilgan ishga teng:

FXdxt -\- Fydyt + Fz dzt = dAt . (6.50)

Mazkur ish i- jism kinetik energiyasining oshishiga sarf buladi, ya’ni:

dA, = dEK .
(6.51)

(6.50) va (6.51) ifodalarga asosan (6.49) ni kuyidagicha yozamiz:

/dEp dEp d E„ \ ‘

2 (dEK)) = -z(-~-dx, + ^y~ dy, + -~~ dz, j . (6.52)

Endi vaktning bir jinsliligini e’tiborga olamiz. Vaktning bir jinsliligi shunday natijaga olib keladiki, berk tizimning

116

potensial energiyasi vakt utishi bilan uzgarmaydi. Masalan, Erning gravitatsiya maydonida Er yuziga nisbatan h balandlikda joylashgan massasi t bulgan jismning potensial energiyasi En — mgh — berk

dE

tizim uchun vakt utishi bilan uzgarmaydi, ya’ni -^-=0 • Berk ti-

дЕп


дх,


- dx,


дЕ„


дУ,


L~dyl


дЕ„


дг,


— dz, = dE„

zim potensial energiyasi vaktga boglik bulmasa (6.52) ning ung tomonidagi yigindi ishorasi ostida turgan ifodani (tizimdagi g- jism potensial energiyasini) tuda differensial shaklida yozish mumkin:

U xolda (6.52) ifoda kuyidagi kurinishga ega buladi:

X(dEK) = -Z(dEni).

t ‘ I

Bu tenglikni

d(ZEK+ZEni)=0

I I

kurinishda yozsak, undan mexanikaviy energiyaning saklanish konuni

XEk+ZE„= const (6.53)

l ‘

kelib chikadi. (6.53) ifodadan shunday xulosaga kelamizki, mexanikaviy energiyaning saklanish konuni zamirida vaktning bir jinsliligi yotadi, chunki ana shu xususiyat tufayli berk tizimdagi jarayonlarning sodir bulish konuniyati bu jarayonlarni vakt buyicha boshka paytga kuchirilganda x,am uzgarmaydi.

konunlari (va ularni tavsiflovchi tenglamalar) bir inersial sanok tizimidan ikkinchisiga utganda uzgarmaydi, ya’ni mazkur konunlar inersial sanok tizimlariga nisbatan invariantdir.

Eruglik tezligining doimiyligi xakidagi ikkinchi postu­lat kuyidagicha ta’riflanadi: yoruglikning vakuumdagi tezligi yoruglik manbaining xarakatiga b or lits emas va u barcha inersial sanok, tizimlarida bir xildir.

Galiley almashtirishlaridan kelib chikadigan tezliklarni kushish koidasiga ((3.5) ga k.) asosan bir sanok tizimidan ikkinchisiga utganda yoruglikning tezligi u = v-\-c ga teng bulishi kerak (bu erda u — K' sanok tizimining K tizimga nisbatan tezligi). Tezliklarni kushishning bu konuni esa yoruglik tezligining doimiylik prinsipiga mutlako ziddir. Bu ziddiyatning sababi Nyuton mexanikasida aloxida-aloxida olib karalgan fazo va vaktning mutlak deb xisoblanganligidadir.

www.ziyouz.com kutubxonasi