Murakkab tuzilishli ob’ektlarni fraktal – raqamli loyihalash Aylanalardan iborat fraktalni qurish algoritmi

Uchburchakli fraktallarni qurishning geometrik modeli, rekursiv algoritmi va dasturiy muhitini ishlab chiqish. Bu turdagi fraktallarni qurishda muntazam uchburchak va uning asosiy tushunchalaridan keng foydalanamiz.
1-tip uchburchak



4.11-rasm

4.11-rasmda uchburchak, uning balandligi va asos yarmidan foydalangan holda uning geometrik modeli ishlab chiqiladi. Bunda to‘rt xil o‘zgaruvchi olinadi. Bular: x,y, balandlik-h, asosyarmi-asya va ular 4.11-rasmda keltirilgan.

x–boshlang‘ich uchburchak asosi yarmi joylashgan nuqta abtsissasi.
y–boshlang‘ich uchburchak asosi yarmi joylashgan nuqta ordinatasi.
Balandlik(h)–boshlang‘ich uchburchak balandligi.
Asos yarmi(asya)–boshlang‘ich uchburchak asosining yarmi.
Endi rekursiv algoritmni ishlab chiqamiz.
1-qadam:
a) Boshlang‘ich muntazam uchburchak chizib olinsin.
b) Uchburchakning asosining yarmi aniqlansin va bu nuqtaning koordinatasi (x,y) deb olinsin.
c) Uchburchakning balandligi aniqlansin va h harfi bilan belgilansin (4.11-rasm).
d) Uchburchak uchlari joylashgan nuqtalarning koordinatalari aniqlansin
A( x, y-h); B( x + asya, y); C( x – asya, y) (4.12-rasm).
Bu algoritm uchun dastur tuzib, rasm hosil qilinganda faqat bitta uchburchak chiziladi. Bunda dasturga rekursiyalar sonini aniqlash uchun yana bitta paramert kiritiladi, ya’ni uni n deb belgilaymiz.
n=0 bo‘lganida, faqat bitta muntazam uchburchak chiziladi (4.12-rasm).

4.12-rasm, n=0

2-qadam:

a) muntazam uchburchak va uning har bir uchida o‘lchami asosiy uchburchak o‘lchamidan ikki baravar kichik bulgan uchburchaklar chizilsin.
b) Mavjud muntazam uchburchaklarda
A^I( x, y – 5*h/4); B^I( x – asy/2; y + 3*h/4);
C^I ( x – asy/2; y + 3*h/4);
D^I ( x + asy; y – h/4); E^I ( x + 3*asy/2; y + h/4);
F^I ( x – asy/2; y + h/4);
N^I ( x – asy; y – h/4); M^I ( x – asy/2; y + h/4);
P^I ( x – 3*asy/2; y + h/4);
nuqta koordinatalari aniqlansin.
c) Aniqlangan nuqtalarda uchburchaklar chizilsin 4.12-rasm.

4.13-rasm n=1

Bu jarayonni cheksiz davom ettirib muntazam uchburchaklardan iborat fraktalni qurish mumkin. Hosil qilingan fraktallardagi uchburchaklar soni n ga bog‘lik geometrik tarzda o‘zgaradi. Ya’ni uchburchaklar umumiy sonini topish quyidagi formulaga asosan amalga oshiriladi

bu yerda n rekursiyalar soni.
2-tip uchburchak
Bu turdagi fraktallarni qurishda ham quyidagi muntazam uchburchak va uning asosiy tushunchalaridan keng foydalaniladi.
Bu tip muntazam uchburchakli fraktalning oldingi tip fraktaldan farqi shundaki ularning uchburchakning tashqarilarida hosil qilinadi. Buning uchun avvalo uchburchak tomonlarining o‘rtalari, uning balanligi topib olinadi hamda nuqtalar bilan belgilanib koordinatalari aniqlanadi.
Bunda 4 xil o‘zgaruvchi olinadi. Bular x, y, h, tya.
x–boshlang‘ich uchburchak asosi yarmi joylashgan nuqta abtsissasi.
y–boshlang‘ich uchburchak asosi yarmi joylashgan nuqta ordinatasi.
h–boshlang‘ich uchburchak balandligi.
tya–boshlang‘ich uchburchak tomonlarining yarmi.
Endi rekursiv algoritmni ishlab chiqamiz.
1-qadam:
a) Uchburchak uchlari joylashgan nuqtalarning koordinatalari aniqlansin
A( x, y-h); B( x + tya, y); C( x – tya, y) (4.13-rasm).
b) Boshlang‘ich muntazam uchburchak chizib olinsin.
c) Uchburchakning balandligi aniqlansin va h harfi bilan belgilansin (4.13-rasm).
d) Uchburchakning tomonlarining yarimlari aniqlansin va bu nuqtalarning koordinatalari aniqlansin (4.14-rasm).



h

4.14-rasm. n=0

Bu algoritm uchun dastur tuzib, rasm hosil qilinganda faqat bitta uchburchak chiziladi. Bunda dasturga rekursiyalar sonini aniqlash uchun yana bitta parametr kiritib, uni n deb belgilaymiz.

n=0 bo‘lganda faqat bitta muntazam uchburchak chiziladi 4.14-rasm.
2-qadam:
a) muntazam uchburchak va uning har bir uchida o‘lchami boshlang‘ich uchburchak o‘lchamidan ikki baravar kichik bo‘lgan uchburchaklar chizilsin.
b) Mavjud muntazam tomonlari o‘rtalarida nuqta koordinatalari aniqlansin, ya’ni


A₁(n-1, x- tya, y - h/2, h / 2, tya / 2);
B₁(n-1, x + tya, y - h / 2, h / 2, tya / 2);
C₁(n-1, x , y + h / 2, h / 2, tya / 2);
kabidir.
c) Aniqlangan nuqtalarda uchburchaklar chizilsin (4.14-rasm).



4.15-rasm. n=1

Bu jarayonni cheksiz davom ettirib muntazam uchburchaklardan iborat 2-tip fraktalni qurish mumkin. Hosil qilingan fraktaldagi uchburchaklar sonini n ga bog‘liq geometrik tarzda o‘zgaradi. Ya’ni uchburchaklar umumiy sonini topish (1) formulaga asosan amalga oshiriladi, bu yerda n rekursiyalar soni.