Mustaqil ish 1 Funkiya tushunchasi

5.Integral yordamida jismlar hajmini hisobash.

Berilgan T figurani va parallel tekisliklar orasida joylashgan qismini hajmini topish kerak bo’lsin. (8-chizma)

Bu tekislarga perpendekulyar OX o’qini olamiz va bu tekisliklar bilan OX o’qini kesishgan nuqtalarini a va b (a,b) bilan belgilaymiz. Bu jism bilan x(x[a;b]) absissali nuqtadan OX o’qqa perpendekular o’tuvchi tekislik kesimi

Ф(x) figura doira, to’pburchak kabi tekis figura bo’ladi. x=a va x=b kesimlarda kesim nuqtadan iborat bo’lishi ham mumkin. Masalan, 8-chizmada x=a kesimda nuqta hosil bo’lgan. Ф(x) figuraning yuzini S(x) orqali ifodalaylik va bu funksiya [a;b] sonli oraliqda uzluksiz bo’lsin. [a;b] kesmani n ta teng bo’lakka ajratamiz va absissali nuqtasida OX o’qqa perpendekular tekislik o’tkazamiz (9-chizma). Bu parallel tekisliklar T jismni n ta ,,…, qismga ajratadi. Agar Ф() kesim doira bo’lsa, u holda bo’lakcha hajmi asosi doiradan va balandligi bo’lgan silindr hajmiga yaqin bo’ladi.



Agar Ф() – ko’pburchak bo’lsa, jism hajmi asosi shu ko’pburchakdan va balandligi bo’lgan prizmadan iborat bo’ladi. Har ikkala holda ham jism hajmi S()* ga teng bo’ladi. T figuraning umumiy hajmi ushbu formula yordamida taqribiy hisoblanadi.



T jism hajmi uchun taqribiy qiymat n ning katta qiymatida va mos ravishda ning kichik qiymatlarida o’zining aniq qiymatiga yaqinlashadi. Demak,

jism hajmiga teng bo’ladi, ya’ni .

Ikkinchi tomon yig’indi uzluksiz S(x) funksiya uchun [a,b] oraliqdagi integral yig’indi hisoblanadi, shuning uchun .

Shunday qilib, integral yordamida jism hajmini hisoblash formulasi hosil qilindi:

Bu formada jism hajmini hisoblashning asosiy formulasi deb yuritiladi.

Agar y=f(x) egri chiziq va x=a, x=b, y=0 tog’ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya Ox o’qi atrofida aylantirilsa, u holda aylanish jismining hajmi

formula bilan hisoblanadi.

Agar figuraning o’zi OY o’q atrofida aylantirilsa, u holda aylanish jismining hajmi

Agar va (bunda ) egri chiziqlar hamda x=a, x=b to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan figura OX o’qi atrofida aylansa, aylanish jismining hajmi

formula bo’yicha hisoblanadi.

Agar shu figura o’zi OY o’q atrofida aylansa, aylanish jismining hajmi

formula bilan hisoblandi.